问题补充:
若实数a、b、c、d满足,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为________.
答案:
解析分析:由==1可知点P(a,b)是曲线y=x2-2lnx上的点,Q(c,d)是直线y=3x-4上的点,由导数的几何意义可知,过曲线y=x2-2lnx上的点P(a,b)且与线y=3x-4平行时,|PQ|2=(a-c)2+(b-d)2有最小值.
解答:∵==1,
∴点P(a,b)是曲线f(x)=x2-2lnx(x>0)上的点,Q(c,d)是直线y=3x-4上的点,
∴|PQ|2=(a-c)2+(b-d)2.
要使|PQ|2最小,当且仅当过曲线y=x2-2lnx上的点P(a,b)且与线y=3x-4平行时.
∵f′(x)=2x-=(x>0),
由f′(x)>0得,x>1;由f′(x)<0得0<x<1.
∴当x=1时,f(x)取得极小值,为1.
作图如下:
∵f′(x)|x=a=2a-,直线y=3x-4的斜率k=3,
∴2a-=3,
∴a=2或a=-(由于a>0,故舍去).
∴b=22-2ln2=4-2ln2.
设点P(2,4-2ln2)到直线y=3x-4的距离为d,则d2==.
∵|PQ|2≥d2=,
∴(a-c)2+(b-d)2的最小值为.
故