问题补充:
函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).对任意非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解集都不可能是A.{1,2}B.{1,4}C.{1,2,3,4}D.{1,4,16,64}
答案:
D
解析分析:根据函数f(x)的对称性,因为m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解应满足y1=ax2+bx+c,y2=ax2+bx+c,进而可得到方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的根,应关于对称轴x=对称,对于D中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴,故解集不可能是D.
解答:∵f(x)=ax2+bx+c的对称轴为直线x=设方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解为y1,y2则必有y1=ax2+bx+c,y2=ax2+bx+c那么从图象上看,y=y1,y=y2是一条平行于x轴的直线它们与f(x)有交点由于对称性,则方程y1=ax2+bx+c的两个解x1,x2要关于直线x=称也就是说2(x1+x2)=同理方程y2=ax2+bx+c的两个解x3,x4也要关于直线x=对称那就得到2(x3+x4)=在C中,可以找到对称轴直线x=2.5,也就是1,4为一个方程的解,2,3为一个方程的解所以得到的解的集合可以是{1,2,3,4}而在D中,{1,4,16,64},中间两个数4,16的对称轴为10,而最大值和最小值1,64的对称轴为,即函数的图象不是轴对称图形,故选D.
点评:本题主要考查二次函数的性质--对称性,二次函数在高中已经作为一个工具来解决有关问题,在解决不等式、求最值时用途很大.
函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).对任意非零实数a b c m n p 关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解集都不可能是A.{1 2}B.{1