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已知直线l:x+y+8=0 圆O:x2+y2=36(O为坐标原点) 椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为

时间:2023-07-15 07:21:30

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已知直线l:x+y+8=0 圆O:x2+y2=36(O为坐标原点) 椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为

问题补充:

已知直线l:x+y+8=0,圆O:x2+y2=36(O为坐标原点),椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等.

(I)求椭圆C的方程;

(II)过点(3,0)作直线l,与椭圆C交于A,B两点设(O是坐标原点),是否存在这样的直线l,使四边形为ASB的对角线长相等?若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.

答案:

解:(Ⅰ)∵圆心O到直线l:x+y+8=0的距离为,

∴直线l被圆O截得的弦长为,

∵直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等,

∴2a=4,∴a=2,

∵椭圆的离心率为e=,

∴c=

∴b2=a2-c2=1

∴椭圆C的方程为:;??????????????????????????????…(4分)

(Ⅱ)∵,∴四边形OASB是平行四边形.

假设存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线长相等,则四边形OASB为矩形,因此有,

设A(x1,y2),B(x2,y2),则x1x2+y1y2=0.…(7分)

直线l的斜率显然存在,设过点(3,0)的直线l方程为:y=k(x-3),

由,得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,

由△=(-24k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)>0,可得-5k2+1>0,即.…(9分)

∴=,

由x1x2+y1y2=0得:,满足△>0.…(12分)

故存在这样的直线l,其方程为.…(13分)

解析分析:(Ⅰ)计算圆心O到直线l:x+y+8=0的距离,可得直线l被圆O截得的弦长,利用直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等,可求a的值,利用椭圆的离心率为e=,即可求得椭圆C的方程;(Ⅱ)由,可得四边形OASB是平行四边形.假设存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线长相等,则四边形OASB为矩形,因此有,设直线方程代入椭圆方程,利用向量的数量积公式,即可求得结论.

点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,联立方程,利用向量的数量积公式、韦达定理是关键.

已知直线l:x+y+8=0 圆O:x2+y2=36(O为坐标原点) 椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为e= 直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等.(I)求椭圆C

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