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例题五例6设A,B\bm{A},\bm{B}A,B是nnn阶矩阵。（3）A,B\bm{A},\bm{B}A,B均是nnn阶矩阵，证明AB,BA\bm{AB},\bm{BA}AB,BA有相同的特征值。例14设A\bm{A}A是三阶实对称矩阵，λ1=−1,λ2=λ3=1\lambda_1=-1,\lambda_2=\lambda_3=1λ1​=−1,λ2​=λ3​=1是A\bm{A}A的特征值，对应于λ1=−1\lambda_1=-1λ1​=−1的特征向量为α1=[0,1,1]T\bm{\alpha}_1=[0,1,1]^\mathrm{T}α1​=[0,1,1]T，求A\bm{A}A。例22设A\bm{A}A是三阶矩阵，λ1=1,λ2=2,λ3=3\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3λ1​=1,λ2​=2,λ3​=3是A\bm{A}A的特征值，对应的特征向量分别是α1=[2,2,−1]T,α2=[−1,2,2]T,α3=[2,−1,2]T\bm{\alpha}_1=[2,2,-1]^\mathrm{T},\bm{\alpha}_2=[-1,2,2]^\mathrm{T},\bm{\alpha}_3=[2,-1,2]^\mathrm{T}α1​=[2,2,−1]T,α2​=[−1,2,2]T,α3​=[2,−1,2]T，又β=[1,2,3]T\bm{\beta}=[1,2,3]^\mathrm{T}β=[1,2,3]T。计算：Anβ\bm{A}^n\bm{\beta}Anβ。写在最后

例题五

例6设A,B\bm{A},\bm{B}A,B是nnn阶矩阵。

（3）A,B\bm{A},\bm{B}A,B均是nnn阶矩阵，证明AB,BA\bm{AB},\bm{BA}AB,BA有相同的特征值。

证设ABα=λ0α\bm{AB\alpha}=\lambda_0\bm{\alpha}ABα=λ0​α，其中α≠0\bm{\alpha}\ne\bm{0}α​=0。两边左乘B\bm{B}B，得BA(Bα)=λ0(Bα)\bm{BA}(\bm{B\alpha})=\lambda_0(\bm{B\alpha})BA(Bα)=λ0​(Bα)。

若Bα≠0\bm{B\alpha}\ne\bm{0}Bα​=0，则λ0\lambda_0λ0​也是BA\bm{BA}BA的特征值，对应的特征向量为Bα\bm{B\alpha}Bα。

若Bα=0\bm{B\alpha}=\bm{0}Bα=0，则有ABα=λ0α=A(Bα)\bm{AB\alpha}=\lambda_0\bm{\alpha}=\bm{A}(\bm{B\alpha})ABα=λ0​α=A(Bα)知λ0α=0,α≠0\lambda_0\bm{\alpha}=\bm{0},\bm{\alpha}\ne\bm{0}λ0​α=0,α​=0，得λ0=0\lambda_0=0λ0​=0。

λ0=0\lambda_0=0λ0​=0是AB\bm{AB}AB的特征值，因∣AB∣=∣BA∣=0|\bm{AB}|=|\bm{BA}|=0∣AB∣=∣BA∣=0，故λ0\lambda_0λ0​也是BA\bm{BA}BA的特征值。从而得出AB,BA\bm{AB},\bm{BA}AB,BA有相同的特征值。

例14设A\bm{A}A是三阶实对称矩阵，λ1=−1,λ2=λ3=1\lambda_1=-1,\lambda_2=\lambda_3=1λ1​=−1,λ2​=λ3​=1是A\bm{A}A的特征值，对应于λ1=−1\lambda_1=-1λ1​=−1的特征向量为α1=[0,1,1]T\bm{\alpha}_1=[0,1,1]^\mathrm{T}α1​=[0,1,1]T，求A\bm{A}A。

解设对应于λ2=λ3=1\lambda_2=\lambda_3=1λ2​=λ3​=1的特征向量为α=[x1,x2,x3]T\bm{\alpha}=[x_1,x_2,x_3]^\mathrm{T}α=[x1​,x2​,x3​]T，α1\bm{\alpha}_1α1​与α\bm{\alpha}α正交，故α\bm{\alpha}α应满足α1Tα=x2+x3=0\bm{\alpha}_1^\mathrm{T}\bm{\alpha}=x_2+x_3=0α1T​α=x2​+x3​=0，解得α2=[1,0,0]T,α3=[0,1,−1]T\bm{\alpha}_2=[1,0,0]^\mathrm{T},\bm{\alpha}_3=[0,1,-1]^\mathrm{T}α2​=[1,0,0]T,α3​=[0,1,−1]T，得可逆矩阵P=[α1,α2,α3]\bm{P}=[\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3]P=[α1​,α2​,α3​]，使得P−1AP=Λ=[−100010001]\bm{P}^{-1}\bm{AP}=\bm{\Lambda}=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}P−1AP=Λ=⎣⎡​−100​010​001​⎦⎤​，其中P=[01010110−1],P−1=12[01120001−1].A=PΛP−1=[01010110−1][−100010001]12[01120001−1]=[10000−10−10]\bm{P}=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&1\\1&0&-1\end{bmatrix},\bm{P}^{-1}=\cfrac{1}{2}\begin{bmatrix}0&1&1\\2&0&0\\0&1&-1\end{bmatrix}.\bm{A}=\bm{P\Lambda P}^{-1}=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&1\\1&0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\cfrac{1}{2}\begin{bmatrix}0&1&1\\2&0&0\\0&1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{bmatrix}P=⎣⎡​011​100​01−1​⎦⎤​,P−1=21​⎣⎡​020​101​10−1​⎦⎤​.A=PΛP−1=⎣⎡​011​100​01−1​⎦⎤​⎣⎡​−100​010​001​⎦⎤​21​⎣⎡​020​101​10−1​⎦⎤​=⎣⎡​100​00−1​0−10​⎦⎤​。

例22设A\bm{A}A是三阶矩阵，λ1=1,λ2=2,λ3=3\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3λ1​=1,λ2​=2,λ3​=3是A\bm{A}A的特征值，对应的特征向量分别是α1=[2,2,−1]T,α2=[−1,2,2]T,α3=[2,−1,2]T\bm{\alpha}_1=[2,2,-1]^\mathrm{T},\bm{\alpha}_2=[-1,2,2]^\mathrm{T},\bm{\alpha}_3=[2,-1,2]^\mathrm{T}α1​=[2,2,−1]T,α2​=[−1,2,2]T,α3​=[2,−1,2]T，又β=[1,2,3]T\bm{\beta}=[1,2,3]^\mathrm{T}β=[1,2,3]T。计算：Anβ\bm{A}^n\bm{\beta}Anβ。

解利用Aαi=λiαi\bm{A\alpha}_i=\lambda_i\bm{\alpha}_iAαi​=λi​αi​，有Anα=λinαi\bm{A}^n\bm{\alpha}=\lambda_i^n\bm{\alpha}_iAnα=λin​αi​，将β\bm{\beta}β表成α1,α2,α3\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3α1​,α2​,α3​的线性组合。设β=x1α1+x2α2+x3α3\bm{\beta}=x_1\bm{\alpha}_1+x_2\bm{\alpha}_2+x_3\bm{\alpha}_3β=x1​α1​+x2​α2​+x3​α3​，即[123]=x1[22−1]+x2[−122]+x3[2−12]\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}=x_1\begin{bmatrix}2\\2\\-1\end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix}-1\\2\\2\end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix}2\\-1\\2\end{bmatrix}⎣⎡​123​⎦⎤​=x1​⎣⎡​22−1​⎦⎤​+x2​⎣⎡​−122​⎦⎤​+x3​⎣⎡​2−12​⎦⎤​，解得x1=13,x2=1,x3=23x_1=\cfrac{1}{3},x_2=1,x_3=\cfrac{2}{3}x1​=31​,x2​=1,x3​=32​，故

Anβ=An(13α1+α2+23α3)=[23−2n+22⋅3n−123+2n+1−2⋅3n−1−13+2n+1+22⋅3n−1]\begin{aligned} \bm{A}^n\bm{\beta}&=\bm{A}^n\left(\cfrac{1}{3}\bm{\alpha}_1+\bm{\alpha}_2+\cfrac{2}{3}\bm{\alpha}_3\right)\\ &=\begin{bmatrix}\cfrac{2}{3}-2^n+2^2\cdot3^{n-1}\\\cfrac{2}{3}+2^{n+1}-2\cdot3^{n-1}\\-\cfrac{1}{3}+2^{n+1}+2^2\cdot3^{n-1}\end{bmatrix} \end{aligned} Anβ​=An(31​α1​+α2​+32​α3​)=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​32​−2n+22⋅3n−132​+2n+1−2⋅3n−1−31​+2n+1+22⋅3n−1​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​​

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