恒长旋转向量的导数

一个恒长旋转向量求导后得到的向量的方向与原向量相比，逆时针旋转了 90∘90^\circ90∘ ，而求导后得到的向量的长度与旋转角速度有关。

证明

例如 a⃗=(cosθ,sinθ)\vec{a}=(cos \ \theta, \quad sin \ \theta)a=(cosθ,sinθ)

1、对 θ\thetaθ 求导

da⃗dθ=(−sinθ,cosθ)=[cos(θ+π2),sin(θ+π2)]\frac{d\vec{a}}{d\theta}=(-sin\ \theta, \quad cos \ \theta)=[cos(\theta+\frac{\pi}{2}), \quad sin(\theta+\frac{\pi}{2})] dθda​=(−sinθ,cosθ)=[cos(θ+2π​),sin(θ+2π​)]

结论：

da⃗dθ\frac{d\vec{a}}{d\theta}dθda​ 与 a⃗\vec{a}a 相比，在方向上逆时针旋转了 90°，长度不变

2、对 t 求导

θ\thetaθ 是关于 ttt 的函数，θ=w⋅t或θ=w(t)⋅t\theta=w \cdot t \quad 或 \quad \theta=w(t)\cdot tθ=w⋅t或θ=w(t)⋅t前者角速度恒定，后者角速度是关于时间的函数。

da⃗dt=da⃗dθ⋅dθdt=[dθdt⋅cos(θ+π2),dθdt⋅sin(θ+π2)]\frac{d\vec{a}}{dt}=\frac{d\vec{a}}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt}=[\frac{d\theta}{dt} \cdot cos(\theta+\frac{\pi}{2}), \quad \frac{d\theta}{dt} \cdot sin(\theta+\frac{\pi}{2})] dtda​=dθda​⋅dtdθ​=[dtdθ​⋅cos(θ+2π​),dtdθ​⋅sin(θ+2π​)]

结论：

所以， da⃗dt\frac{d\vec{a}}{dt}dtda​ 与 a⃗\vec{a}a 相比，在方向上逆时针旋转了 90° ，在长度上变为原来的 www 倍，如果 a⃗\vec{a}a 作变速圆周运动，da⃗dt\frac{d\vec{a}}{dt}dtda​ 的长度将会随时间变化。

圆周运动中角速度和线速度的关系

一个质点以原点为圆心作圆周运动，设它的位移由 r1⃗\vec{r_1}r1​​ 变成 r2⃗\vec{r_2}r2​​ ，如下图所示

dr⃗d\vec{r}dr 是位移的变化量，dθd\thetadθ 是弧度增量。

dr⃗=r2⃗−r1⃗∣r1⃗∣=∣r2⃗∣=rd\vec{r}=\vec{r_2}-\vec{r_1} \\ \quad \\ |\vec{r_1}|=|\vec{r_2}|=r\\ dr=r2​​−r1​​∣r1​​∣=∣r2​​∣=r

当 dθd\thetadθ 很小时， ∣dr⃗∣≈弧长|d\vec{r}| \approx 弧长∣dr∣≈弧长 根据 弧度=弧长半径弧度=\frac{弧长}{半径}弧度=半径弧长​ ，可得 dθ=∣dr⃗∣rd\theta=\frac{|d\vec{r}|}{r}dθ=r∣dr∣​，使用标量表示：dr=dθ⋅rdr=d\theta \cdot rdr=dθ⋅r ，方程两边同时除以 dt ，得: drdt=r⋅dθdt\frac{dr}{dt}=r \cdot \frac{d\theta}{dt}dtdr​=r⋅dtdθ​，则得到：v=w⋅rv=w\cdot rv=w⋅r

这只是大小关系，考虑方向，使用叉乘，v⃗=w⃗×r⃗\vec{v} = \vec{w} \times \vec{r}v=w×r

阿基米德螺旋线

阿基米德螺旋线方程

阿基米德螺旋线的极坐标方程为：r=aθ(a>0)r=a\theta \quad (a>0)r=aθ(a>0) 这表示极径与 θ\thetaθ 是线性关系，成正比。

它的参数方程为：

{x=r⋅cosθ=aθ⋅cosθy=r⋅sinθ=aθ⋅sinθ\begin{cases} x=r \cdot cos \ \theta=a\theta \cdot cos \ \theta \\ y=r \cdot sin \ \theta=a\theta \cdot sin \ \theta \end{cases} {x=r⋅cosθ=aθ⋅cosθy=r⋅sinθ=aθ⋅sinθ​

试图消去参数

x2+y2=(aθ)2⋅(sin2θ+cos2θ)=(aθ)2其中，θ=arctan(yx)x^2+y^2=(a\theta)^2 \cdot (sin^2 \theta + cos^2 \theta)=(a\theta)^2 \quad 其中，\theta=arctan(\frac{y}{x}) x2+y2=(aθ)2⋅(sin2θ+cos2θ)=(aθ)2其中，θ=arctan(xy​)

这个方程无法化为显函数的形式，所以，最好用极坐标方程或参数方程来表示。我们以 θ\thetaθ 为参数，用 matlab 画出它的图像。

syms thetaa=1;r=a*theta;x=r*cos(theta);y=r*sin(theta);fplot(x,y,[0,50],'LineWidth',1.5);grid onaxis square

螺旋线的时间导数

设 r⃗\vec{r}r 为螺旋线的位移，dr⃗dt=dr⃗dθ⋅dθdt\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d\vec{r}}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt}dtdr​=dθdr​⋅dtdθ​ .

可见，r⃗\vec{r}r 对时间求导只是对 θ\thetaθ 求导后乘上一个系数 dθdt\frac{d\theta}{dt}dtdθ​ 而已，所以我们研究对 θ\thetaθ 的导数，而不是对 ttt 的导数。

对螺旋线的参数方程求导

syms a thetax=a*theta*cos(theta);y=a*theta*sin(theta);dx=diff(x,theta)dy=diff(y,theta)

结果如下

dx =a*cos(theta) - a*theta*sin(theta)dy =a*sin(theta) + a*theta*cos(theta)>>

这可以看成是两个向量的合成，分别为

(a⋅cosθ,a⋅sinθ)(a\cdot cos\ \theta,\quad a \cdot sin\ \theta) (a⋅cosθ,a⋅sinθ)

和

(−aθ⋅sinθ,aθ⋅cosθ)=[aθ⋅cos(θ+π2),aθ⋅sin(θ+π2)](-a\theta \cdot sin\ \theta,\quad a\theta \cdot cos \ \theta)= [a\theta \cdot cos(\theta+ \frac{\pi}{2}), \quad a\theta \cdot sin(\theta+\frac{\pi}{2})] (−aθ⋅sinθ,aθ⋅cosθ)=[aθ⋅cos(θ+2π​),aθ⋅sin(θ+2π​)]

分别令

{et⃗=[aθ⋅cos(θ+π2),aθ⋅sin(θ+π2)]en⃗=(a⋅cosθ,a⋅sinθ)\begin{cases} \vec{e_t}=[a\theta \cdot cos(\theta+ \frac{\pi}{2}), \quad a\theta \cdot sin(\theta+\frac{\pi}{2})] \\ \vec{e_n}=(a\cdot cos\ \theta,\quad a \cdot sin\ \theta) \\ \end{cases} {et​​=[aθ⋅cos(θ+2π​),aθ⋅sin(θ+2π​)]en​​=(a⋅cosθ,a⋅sinθ)​

{vt⃗=dθdt⋅et⃗=w⋅et⃗vn⃗=dθdt⋅en⃗=w⋅en⃗\begin{cases} \vec{v_t}=\frac{d\theta}{dt} \cdot \vec{e_t}=w\cdot \vec{e_t} \\ \vec{v_n}=\frac{d\theta}{dt} \cdot \vec{e_n} =w\cdot \vec{e_n}\\ \end{cases} {vt​​=dtdθ​⋅et​​=w⋅et​​vn​​=dtdθ​⋅en​​=w⋅en​​​

其中，vn⃗\vec{v_n}vn​​ 的方向沿着半径向外，是法向速度， vt⃗\vec{v_t}vt​​ 沿着切线，与vn⃗\vec{v_n}vn​​ 垂直，总是指向逆时针方向，是切向速度。

可以看出 www 恒定时，切向速度随着 θ\thetaθ 的增大而增大，法向速度恒定，此时质点一方面绕着原点作圆周运动，线速度越来越大；另一方面，又以恒定的速度远离原点。

切向速度的规律

这个切向速度与原来的螺旋线方程比起来有什么规律呢？

螺旋线参数方程

{x=r⋅cosθ=aθ⋅cosθy=r⋅sinθ=aθ⋅sinθ\begin{cases} x=r \cdot cos \ \theta=a\theta \cdot cos \ \theta \\ y=r \cdot sin \ \theta=a\theta \cdot sin \ \theta \end{cases} {x=r⋅cosθ=aθ⋅cosθy=r⋅sinθ=aθ⋅sinθ​

切向速度

vt⃗=[aθ⋅cos(θ+π2),aθ⋅sin(θ+π2)]\vec{v_t}=[a\theta \cdot cos(\theta+ \frac{\pi}{2}), \quad a\theta \cdot sin(\theta+\frac{\pi}{2})] vt​​=[aθ⋅cos(θ+2π​),aθ⋅sin(θ+2π​)]

可以发现，切向速度与螺旋线方程比起来就是逆时针旋转了 π2\frac{\pi}{2}2π​ 而已。

使用 matlab 画出切向速度的图像

clc;clear;close all;syms thetaa=1;x=a*theta*cos(theta+pi/2);y=a*theta*sin(theta+pi/2);fplot(x,y,[0,pi*2*5],'LineWidth',1.5,'Color','b');%画出切向速度，蓝色grid onaxis squarehold onx=a*theta*cos(theta);y=a*theta*sin(theta);fplot(x,y,[0,pi*2*5],'LineWidth',1.5,'Color','r');%画出阿基米德螺旋线，红色

切向速度可以使用 v⃗=w⃗×r⃗\vec{v} = \vec{w} \times \vec{r}v=w×r 的公式。（合速度不行）

1、使用方程组得到 vtv_tvt​（vtv_tvt​ 的标量，即它的大小）

{et⃗=[aθ⋅cos(θ+π2),aθ⋅sin(θ+π2)]en⃗=(a⋅cosθ,a⋅sinθ)\begin{cases} \vec{e_t}=[a\theta \cdot cos(\theta+ \frac{\pi}{2}), \quad a\theta \cdot sin(\theta+\frac{\pi}{2})] \\ \vec{e_n}=(a\cdot cos\ \theta,\quad a \cdot sin\ \theta) \\ \end{cases} {et​​=[aθ⋅cos(θ+2π​),aθ⋅sin(θ+2π​)]en​​=(a⋅cosθ,a⋅sinθ)​

{vt⃗=dθdt⋅et⃗=w⋅et⃗vn⃗=dθdt⋅en⃗=w⋅en⃗\begin{cases} \vec{v_t}=\frac{d\theta}{dt} \cdot \vec{e_t}=w\cdot \vec{e_t} \\ \vec{v_n}=\frac{d\theta}{dt} \cdot \vec{e_n} =w\cdot \vec{e_n}\\ \end{cases} {vt​​=dtdθ​⋅et​​=w⋅et​​vn​​=dtdθ​⋅en​​=w⋅en​​​

则标量方程为：

{vt=waθ=w2atvn=wa\begin{cases} v_t=wa\theta =w^2at\\ v_n=wa \\ \end{cases} {vt​=waθ=w2atvn​=wa​

2、使用 v⃗=w⃗×r⃗\vec{v} = \vec{w} \times \vec{r}v=w×r 得到 vtv_tvt​

vt=wr=w⋅aθ=wa⋅wt=w2atv_t=wr=w\cdot a\theta=wa\cdot wt=w^2at vt​=wr=w⋅aθ=wa⋅wt=w2at

这两种方式得到的 vtv_tvt​ 一样，可见，对于任意的曲线运动，它的切向速度总是适用 v⃗=w⃗×r⃗\vec{v} = \vec{w} \times \vec{r}v=w×r ，但是它的合速度不能盲目地使用这个公式。

题外话——蚊香线

两条互差 180° 得阿基米德螺旋线就是蚊香得形状

clc;clear;close all;syms thetaa=1;x=a*theta*cos(theta+pi);y=a*theta*sin(theta+pi);fplot(x,y,[0,pi*2*5],'LineWidth',1.5,'Color','b');grid onaxis squarehold onx=a*theta*cos(theta);y=a*theta*sin(theta);fplot(x,y,[0,pi*2*5],'LineWidth',1.5,'Color','r');

在一个平面上切割两条阿基米德螺旋线，然后横着切两刀，剩下的部分丢掉，把要的部分扒开就是两盘蚊香了。