考点一：数轴及在数轴上比较有理数的大小
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线.
2.数轴的画法
①画一条水平的直线;
②在直线上适当选取一点为原点；
③确定向右为正方向,用箭头表示出来(头标在画出部分的最右边);
④根据需要,选取适当的长度作为单位长度,从原点向右、向左每隔一个单位长度取一点,依次标为1,2,3,…,1,2,3,…,如图所示.
3.数轴的三要素：原点、正方向、统一的单位长度
4.有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数.
有理数大小的比较法则：在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大，正数都大于零,负数都小于零,正数都大于负数.因此利用数轴比较大小的关键是在数轴上准确地表示出各个有理数.
例2.下列说法正确的是
A．数轴是一条规定了原点、单位长度和正方向的直线
B．数轴一定取向右为正方向
C．数轴是一条带箭头的线段
D．数轴上的原点表示有理数的起点
例2.【考点】13：数轴．
【分析】根据规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、数轴是一条规定了原点、单位长度和正方向的直线正确，故本选项正确；
B、数轴一定取向右为正方向，错误，故本选项错误；
C、数轴是一条带箭头的线段，错误，故本选项错误；
D、数轴上的原点表示有理数的起点，错误，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了数轴，熟记概念是解题的关键
考点二、数轴上两点间的距离
（1）在数轴上若点A所对应的数为a，则距离A点m个单位表示的数是am或者a+m .
（2）在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点间的距离是|AB|=|ab|，即这两点表示的数之差的绝对值，也可以先判断两点在数轴上的位置，用右边的点表示的数减去左边的点表示的数来计算。
例1．在数轴上，与原点的距离等于3.2个单位长度的点所表示的有理数是
A．3.2 B．﹣3.2 C．±3.2 D．这个数无法确定
【分析】由绝对值的几何意义可得出结论．
【解答】解：数轴上与原点O的距离等于3.2个单位长度的点表示的有理数是：﹣3.2和3.2，
故选：C．
【点评】本题考查数轴、有理数，解答本题的关键是明确数轴的特点，写出相应的有理数．
例2．已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】本题要先对A点所在的位置进行讨论，得出A点表示的数，然后分别讨论所求点在A的左右两边的两种情况，即可得出答案．
【解答】解：∵数轴上的A点到原点的距离是2，∴点A可以表示2或﹣2．
（1）当A表示的数是2时，在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有2﹣3＝﹣1，2+3＝5；
（2）当A表示的数是﹣2时，在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有﹣2﹣3＝﹣5，﹣2+3＝1．
故选：D．
【点评】注意：到数轴上一个点的距离是定值的点可以在该点的左侧，也可以在该点的右侧．
例3．若数轴上表示﹣1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】根据数轴上两点间的距离等于这两个数的差的绝对值列式计算即可得解．
【解答】解：AB＝|﹣1﹣3|＝4．
【点评】本题考查了数轴，主要利用了两点间的距离的表示，需熟记．
例4．数轴上点A表示的数为﹣4，点B与点A的距离为5，则点B表示的数为 ．
【分析】分为两种情况：B点在A点的左边和B点在A点的右边，求出即可．
【解答】解：当B点在A点的左边时，点B表示的数为﹣4﹣5＝﹣9，
当B点在A点的右边时，点B表示的数为﹣4+5＝1，
故答案为：﹣9或1．
【点评】本题考查了数轴的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
例5．如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示﹣4，点G表示8
（1）点B表示的有理数是 ，表示原点的是点是 ．
（2）图中的数轴上另有点M到点A，点G距离之和为13，则这样的点M表示的有理数是 ．
（3）若将原点取在点D，则点C表示的有理数是 ，此时点B与点 表示的有理数互为相反数．
【分析】（1）先根据数轴上两点之间距离公式求出点A到点G的距离，再求出相邻两点之间的距离即可解答；
（2）设点M表示的有理数是m，根据数轴上两点之间距离的定义即可求出m的值；
（3）根据两点间的距离是2可求出C点坐标，再根据相反数的定义即求出结论．
【解答】解：（1）∵数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示﹣4，点G表示8，
例6．小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示﹣3的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为
A．﹣4 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2
【分析】若1表示的点与﹣3表示的点重合，则折痕经过﹣1；若数轴上A、B两点之间的距离为8，则两个点与﹣1的距离都是4，再根据点A在B的左侧，即可得出答案．
【解答】解：画出数轴如下所示：
依题意得：两数是关于1和﹣3的中点对称，即关于（1﹣3）÷2＝﹣1对称；
∵A、B两点之间的距离为8且折叠后重合，则A、B关于﹣1对称，又A在B的左侧，
∴A点坐标为：﹣1﹣8÷2＝﹣1﹣4＝﹣5．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数．
例7．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：
若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（根据此情境解决下列问题）
①则数轴上数3表示的点与数 表示的点重合．
②若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A、B两点经折叠后重合，则B点表示的数是 。
③若数轴上M、N两点之间的距离为，并且M、N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是 ．则N点表示的数是 ．
【分析】①数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，1﹣（﹣3）＝4，而﹣1﹣4＝﹣5，可得数轴上数3表示的点与数﹣5表示的点重合；
②点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或﹣5，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数是﹣7或3；
③依据M、N两点之间的距离为，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数是1008，N点表示的数是﹣1010．
【解答】解：①∵数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，1﹣（﹣3）＝4，而﹣1﹣4＝﹣5，所以数轴上数3表示的点与数﹣5表示的点重合；
故答案为：﹣5；
②点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或﹣5，
∵A、B两点经折叠后重合，
∴当点A表示﹣5时，﹣1﹣（﹣5）＝4，﹣1+4＝3，
当点A表示5时，5﹣（﹣1）＝6，﹣1﹣6＝﹣7，
∴B点表示的数是﹣7或3；
故答案为：﹣7或3；
③M、N两点之间的距离为，并且M、N两点经折叠后重合，
∴﹣1+1009＝1008，﹣1-1009＝﹣1010，
又∵M点表示的数比N点表示的数大，
∴M点表示的数是1008，N点表示的数是﹣1010，
故答案为：1008，﹣1010．
【点评】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键．
例8．已知a，b分别是两个不同的点A，B所表示的有理数，且|a|＝5，|b|＝2，它们在数轴上的位置如图所示．
（1）试确定数a，b．
（2）表示a，b两数的点相距多远？
（3）若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的，求C点表示的数．
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