典型例题分析1:
如图,抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1,A2,A3…An,….将抛物线y=x2沿直线L:y=x向上平移,得一系列抛物线,且满足下列条件:
①抛物线的顶点M1,M2,M3,…Mn,…都在直线L:y=x上;
②抛物线依次经过点A1,A2,A3…An,….
则顶点M的坐标为( , ).
解:M1(a1,a1)是抛物线y1=(x﹣a1)2+a1的顶点,
抛物线y=x2与抛物线y1=(x﹣a1)2+a1相交于A1,
得x2=(x﹣a1)2+a1,
即2a1x=a12+a1,
x=(a1+1)/2.
∵x为整数点
∴a1=1,
M1(1,1);
M2(a2,a2)是抛物线y2=(x﹣a2)2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点,
抛物线y=x2与y2相交于A2,
x2=x2﹣2a2x+a22+a2,
∴2a2x=a22+a2,
x=(a2+1)/2.
∵x为整数点,
∴a2=3,
M2(3,3),
M3(a3,a3)是抛物线y2=(x﹣a3)2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点,
抛物线y=x2与y3相交于A3,
x2=x2﹣2a3x+a32+a3,
∴2a3x=a32+a3,
x=(a3+1)/2.
∵x为整数点
∴a3=5,
M3(5,5),
∴点M,两坐标为:×2﹣1=4027,
∴M(4027,4027),
故答案为:(4027,4027)
典型例题分析2:
如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线y=x2/2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,则实数k的取值范围是 .
解:由图可知,∠AOB=45°,
∴直线OA的解析式为y=x,
联立y=x和y=x2/2+k消掉y得,
x2﹣2x+2k=0,
△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×2k=0,
即k=1/2时,抛物线与OA有一个交点,
此交点的横坐标为1,
∵点B的坐标为(2,0),
∴OA=2,
∴点A的坐标为(√2,√2),
∴交点在线段AO上;
当抛物线经过点B(2,0)时,1/2×4+k=0,
解得k=﹣2,
∴要使抛物线y=x2/2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,实数k的取值范围是﹣2<k<1/2.
故答案为:﹣2<k<1/2.
考点分析:
二次函数的性质.
题干分析:
根据∠AOB=45°求出直线OA的解析式,然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值,即为一个交点时的最大值,再求出抛物线经过点B时的k的值,即为一个交点时的最小值,然后写出k的取值范围即可.