【例题2】如图，抛物线 y＝ax2﹣bx + 3 交 x 轴于 B（1，0），C（3，0）两点，交 y 轴于 A 点，连接 AB，点 P 为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点 P 到直线 AB 的距离为 7/9 √10 时，求点 P 的横坐标；
（3）当 △ACP 和 △AOC 的面积相等时，请直接写出点 P 的坐标．
【解析】解：
（1）用交点式抛物线表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x + 3），
即 3a＝3，
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x + 3 …①，
则点 A（0，3）；
（2）过点 P 作 PH⊥AB 于点 H，过点 H 作 HG∥x 轴交过点 P 平行于 y 轴的直线于点 G，
则 ∠ABO＝∠HPG＝α，
在 △AOB 中，tan∠ABO＝OA/OB＝3＝tanα，
设 PG＝n，则 HG＝3n，PH＝ 7/9 √10 ，
即：n2 + 9n2＝（ 7/9 √10）2，
解得：n＝7/9，
则直线直线 AB 的表达式为：y＝﹣3x + 3，
设点 H（m，3﹣3m），则点 P（m + 7/3，34/9﹣3m），
将点 P 坐标代入 ① 式并整理得：3m2 + 11m﹣14＝0，
解得：m＝1 或 ﹣14/3，
故点 P 的横坐标为：10/3 或﹣7/3；
（3）
① 当点 P 在 x 轴上方时，参考（2）作 △P′G′H′（P"H"⊥AC），过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，
∵ △ACP 和 △AOC 的面积相等，
∴ P′H′＝OM，
∵ OA＝OC，
∴ ∠ACO = ∠OAC＝45°，
∴ OM＝3/2 √2，
即：P′H′＝OM＝3/2 √2，
∵ H"G"∥x 轴，
∴ ∠ACO = ∠P"H"G" = 45°，
∴ H"G" = P"G" = 3/2，
可知直线 AC 的表达式为：y＝﹣x + 3，
设点 H"（m，3﹣m），则点 P"（m + 3/2，9/2﹣m），
将点 P" 坐标代入 ① 式并整理得：m2 ＝21/4，
解得 m = 1/2 √21 或 -1/2 √21，
此时 P" 的坐标为（（3+√21）/ 2，（9-√21）/ 2）或（（3-√21）/ 2，（9+√21）/ 2），
② 当点 P 不在 x 轴上方时，参考（2）作 △P′G′H′（P"G"⊥AC），过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，
同理可得：点 G"（n，3﹣n），则点 P"（n - 3 / 2，3/2﹣n ），
将点 P" 坐标代入 ① 式并整理得：n2 - 8n + 51/4 = 0，
解得 n = （8+√13）/ 2 或（8-√13）/ 2，
此时 P" 的坐标为（（5+√13）/ 2，（-5-√13）/ 2）或（（5-√13）/ 2，（-5+√13）/ 2），
综上点 P 的坐标为：
（（3+√21）/ 2，（9-√21）/ 2）或（（3-√21）/ 2，（9+√21）/ 2），
（（5+√13）/ 2，（-5-√13）/ 2）或（（5-√13）/ 2，（-5+√13）/ 2）.
