典型例题分析1:
如图,在⊙O中,直径AB垂直弦CD于E,过点A作∠DAF=∠DAB,过点D作AF的垂线,垂足为F,交AB的延长线于点P,连接CO并延长交⊙O于点G,连接EG,已知DE=4,AE=8.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)求证:OC2=OEOP;
(3)求线段EG的长.
考点分析:
圆的综合题.
题干分析:
(1)连接OD,由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO,再由已知条件得出∠ADO=∠DAF,证出OD∥AF,由已知DF⊥AF,得出DF⊥OD,即可得出结论;
(2)由射影定理得出OD2=OEOP,由OC=OD,即可得出OC2=OEOP;
(3)连接DG,由垂径定理得出DE=CE=4,得出CD=8,由勾股定理求出DG,再由勾股定理求出EG即可.
典型例题分析2:
如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:直线CP是⊙O的切线.
(2)若BC=2√5,sin∠BCP=√5/5,求点B到AC的距离.
(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.
考点分析:
切线的判定与性质;等腰三角形的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
题干分析:
(1)根据∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP,在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,得到2∠BCP+2∠BCA=180°,从而得到∠BCP+∠BCA=90°,证得直线CP是⊙O的切线.
(2)作BD⊥AC于点D,得到BD∥PC,从而利用sin∠BCP=sin∠DBC=DC/BC=DC/2√5=√5/5,求得DC=2,再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4.
(3)先求出AC的长度,然后利用BD∥PC的比例线段关系求得CP的长度,再由勾股定理求出AP的长度,从而求得△ACP的周长.