编首语：圆的证明与计算，是近几年中考考得最频繁的知识点，它往往通过综合题出现在大题里，与之有关的知识点比如：与圆的性质有关的证明与计算；与圆的切线有关的证明与计算；与扇形有关的计算。
从近几年的中考来看，圆的证明与计算在近几年中出现在解答题，如下表格：
历年中考圆的证明与计算
满分技法圆的性质综合运用题中，经常用到的重要性质及技法：
①运用圆是轴对称图形也是中心对称图形可以对相关结论作合理的猜测；
②利用垂径定理，通过在由半弦、半径、弦心距组成的直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行计算；
③在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距等量对等量关系，可以转化相等关系；
④由直径所对的圆周角是直角构造直角三角形；
⑤相似三角形、锐角三角函数、勾股定理是计算线段长度及其线段数量关系的重要手段．
类型①与圆的性质有关的证明与计算
练习出真知
这道题考查了学生对圆内动点的理解，对构造直角三角形的把握，对圆心角、弧、弦、弦心距等量对等量关系的转换能力。
解答参考
解答参考
【满分必练】
1.[·烟台]如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE 的度数为( )
A．56° B.62° C.68° D.78°
第1题如图
2．[·自贡] 如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB，OC，则边BC的长为(
第二题选项
第2题如图
3．[·扬州]如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝_____．
第3题如图
参考答案：C D 2√2
4．[·宜昌]如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.
(1)求证：四边形ABFC是菱形；
(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的
面积．
如图所示
解：(1)证明：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC.
∵AB＝AC，
∴BE＝CE.
∵AE＝EF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AC＝AB，
∴四边形ABFC是菱形．
第2题解答
类型②与圆的位置关系有关的证明与计算
满分技法与切线有关的证明与计算：
最常用的辅助线是连接经过切点的半径，利用直径构造直角三角形，利用圆周角相等转移角的位置等．运用三角形全等、三角形相似、勾股定理、锐角三角函数等知识进行证明与计算．
例2[·黄冈]如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过点B的切线交OP于点C.
(1)求证：∠CBP＝∠ADB；
(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长
如图
规范解答：(1)证明：如图，连接OB.
∵BC是⊙O的切线．
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，即∠OBD＋∠DBC＝90°.
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DBP＝90°，即∠CBP＋∠DBC＝90°，
∴∠OBD＝∠CBP.
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ADB，
∴∠CBP＝∠ADB.…………………………………………(5分)
第2题解答
类型③与扇形面积有关的证明与计算
满分技法求与圆有关的阴影部分的面积时，常常是通过把不规则图形的面积，用扇形的面积和三角形的面积的和差来解决．特别地，对于旋转图形，要利用旋转的性质，确定旋转的中心(扇形的圆心)和旋转半径(相应的线段)的位置的变化，常常运用三角形全等进行面积的割补．
[·泰州]如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E.
(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
如图
解：DE与⊙O相切
理由：如图，连接OD.
∵OB＝OD.
∴∠ODB＝∠OBD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴OD∥BE，
∴∠ODE＋∠E＝180°.
∵DE⊥BC，∴∠E＝90°，
∴∠ODE ＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切．
第2题解答
总之，在中考中，考查有关圆的知识时，要牢记以下几点：
①以圆内接四边形为背景，判断三角形的形状，结合全等三角形探究线段间关系，通过图形分割探究四边形最大面积；
②已知圆的切线，根据圆的性质证明两线垂直，并求出线段长度及弧长；
③已知直角三角形和圆的组合图，判定圆的切线，并求线段长；以三角形的外接圆为背景，判定圆的切线，并结合等腰三角形性质证线段相等，结合相似三角形性质求线段长；
④已知圆的直径、弦及角平分线等条件，结合勾股定理求线段长，并判定圆的切线；
⑤已知圆的切线和平行四边形等条件，求线段长并判定圆的切线；已知扇形的圆心角，求出扇形的半径，进而求扇形的面积。
