导言
上一篇《疲劳试验基础之材料力学》在宏观上介绍了材料力学的一些基本知识，本期为拓展篇，在微观上对物体的应力应变状态进行研究分析，得出主应力及主应变的方程式，并结合四大强度理论进行实际应用。Part 1 名词解释主应力：主应力指的是物体内某一点以法向量为n=(n1，n2，n3)的微面积元上剪应力为零时的法向应力。这时，n的方向称为这一点的应力主方向。
主应变：主应变是力学中描述应变的一个概念，指与主应力σ1、σ2、σ3相对应的线应变ε1、ε2、ε3。
应力不变量：物体内任一点由应力分量所组成的不随坐标变换而改变的量。
应变不变量：物体内任一点由应变分量所组成的不随坐标变换而改变的量。
Part 2应力状态
一点的应力状态的研究目的：首先，在物体内部过一点可以作出无数个平面，而且每个平面上的受力也是不同的，为了得到应力最大的平面，从而预测其可能失效的模式及失效位置，有必要研究一个点的应力状态，得出一般性的结论，为寿命分析提供理论基础。
如图所示为弹性体内部任意一点O，通过其可建立一个坐标系O-xyz，在xyz轴上分别取距O点距离极小的点A、B、C，通过A、B、C点，可确定一个平面ABC，由于0A、OB、OC长度极小，可认为平面ABC上的应力趋近于过O点而平行于ABC的斜面上的应力，假设四面体另外三个面上的应力分量已知，则可通过分析ABC面上的应力情况来得出过O点任意平面的应力状态。
设ABC平面的外法线n在坐标系内的沿x、y、z轴方向的余弦分别为：
同时，三角形ABC平面上的全应力在坐标轴上的投影用Pnx，Pny，Pnz表示，由于四面体OABC上的力是平衡的，即落实到各个平面方向上的力也是平衡的，则可建立以下方程：
即
有了这三个分量，即可求得平面ABC上的全应力大小及方向。由主应力的定义可知，假设过O点存在主应力面，即在该平面上的剪应力为零，则该平面上的全应力等于该面上的正应力σ，同样将正应力投影到各坐标轴中，得到：
将方程组(2)代入方程组(1)中，可得正应力σ的求解矩阵为：
求解上式得到的三个根σ1、σ2、σ3即为O点的三个主应力，按大小规定为σ1>σ2> σ3，那么该如何求解呢？分析式(3)可知，其中方向向量[l m n]满足以下关系：
则可知，l、m、n不可能同时为零，也即方程式(3)存在关于未知量l、m、n的非零解，，而线性齐次方程组存在非零解的条件为：
展开行列式，得
式中
称为第一、第二、第三应力不变量，其意义为当坐标变换时，虽然各应力分量会随之改变，但这三个量保持不变。求出三个主应力的大小为：
第i个主应力的方向为：
自此，三个主应力的大小及方向均已确定，而根据三个主应力的大小及方向即可确定最大切应力的大小和方向，可用莫尔圆表示正应力与切应力的关系如下图所示
最大切应力大小为最大主应力σ1、σ2差值的1/2，最大切应力与最大主应力方向呈45度夹角（夹角为两点之间圆弧夹角的1/2），同时主应力面上的剪应力总为零，但最大剪应力面上正应力可不为零。Part 2应变状态物体在外力作用下会产生变形，将导致物体内部各点的位置发生变化，即产生了位移，为了研究物体在任意一点处的变形情况，可在变形物体内任意一点O附近截取一个微小的平行六面体单元，如下图所示，当物体在O点处有变形时，单元体的各棱边的长度及各面之间所夹的直角将发生改变。
将平行六面体的各面投影到直角坐标系的各个坐标平面上，如下图所示，如通过研究这些平面投影的变形并根据这些投影的变形规律来判断整个平行六面体的变形。由于变形很微小，则可认为两个平行面在坐标面上的投影只相差着可忽略不计的高阶微量，因而可以把两个平行面的投影合为一个投影面来研究。
图1 平面应变状态图
设各点在x、y、z方向上的位移分别为u(x,y,z)，v(x,y,z)，w(x,y,z)，对于x方向的应变，可以这样求解：设A’点的坐标为(x,y)，则B’点x方向的坐标为x+dx+u(x+dx,y,z)，则A’B’在x方向的长度为：
则由应变的定义可知，沿x轴方向的应变为：
同理可求得y与z方向的应变为：
接下来求解剪切应变，剪切应变是角度变化之和，从上图1可以看到，沿x与y轴方向均有角度变化，因此，剪切应变为这两个角度的叠加。分析图1，由于A点的y坐标为y，则A’与B’点的y坐标分别为：
则A’B’在y轴方向上的长度为：
则有三角关系：：
由于变形量极小，因此，分母部分第二项偏导部分相对于第一项1来说极小，因此切应变方程为：
同理求得
因此xy平面内的切应变为：
同样方法求得另外两个平面的切应变方程为：
将式子整理得到由位移表示的应变的几何关系为：
其实应变与应力一样，也有主应变，可以和求主应力一样的方式求主应变的大小和方向，主应变方向和主方向一致。
Part 3弹性应力应变关系
部品在拉伸过程中截面将减小，相反，在压缩过程中截面将增大，在线弹性阶段，由于泊松比的限制，在轴向x方向拉伸时，y和x方向的应变也与x方向的应变有关，如下图所示。
也就是说，在的作用下，不仅在x方向引起应变，同时在y和z方向也引起了应变。正应力分量与正应变分量之间的关系为：
在线弹性纯剪切应力状态下，剪应力分量与剪应变分量之间的关系为：
这就是广义胡克定律，可由其反推出应力的表达式为：
这个公式非常重要，其是求解某一点的应力及应变的重要方程。
Part 3弹性应力应变关系目前主流的强度理论中，认为的引起破坏的因素如下图所示，根据引起破坏的原因不同分别建立了相应的强度理论，一一进行介绍。
第一强度理论（最大拉应力理论）引起材料断裂的主要因素是最大拉应力，不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力达到材料单向拉伸断裂时的最大拉应力，材料即发生断裂，强度条件表示：
式中[σ1]为构件危险点处的最大拉应力，[σ]为材料单向拉伸时的许用应力，一般用于破坏形式为脆断的构件。
第二强度理论（最大伸长线应变理论）
认为构件的断裂主要是由最大拉应变引起的，无论材料处于何种应力状态，当最大伸长线应变达到单向拉伸试验下的极限应变时，试件发生断裂。强度准则表示为：
适用于破坏形式为脆断的构件。第三强度理论（最大切应力理论）认为引起材料屈服的主要因素为最大切应力，强度准则表示为：
等式右边为材料单向拉伸时的许用应力。适用于破坏形式为屈服的构件。第四强度理论（形状改变比能理论）认为构件的屈服是由形状改变比能引起的，当形状改变比能达到单向拉伸试验屈服形状改变比能时，构件就破坏了，表达式表示的强度准则为：
式中右侧为材料单向拉伸时的许用应力，适用于破坏形式为屈服的构件。
各强度理论适用范围总结
一般脆性材料选用第一或第二强度理论；
塑性材料选用第三或第四强度理论；
在二向和三向等拉应力时，无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏，故选用第一或第二强度理论；
在二向和三向等压应力状态时，无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论。
本文内容比较枯燥，而且在当前CAE技术非常发达的情况下，软件可以轻松进行应力应变计算，无需人工进行复杂的运算，但是，了解其中原理，把握应力应变出现的位置，从而从结构上对危险部位进行改善，对于一个工程师来说是比较重要的，还是那句话“CAE永远只是辅助，自己的思维才是最重要的”。
本期参考文限
尚德广，王德俊. 多轴疲劳强度[M]. 科学出版社..
刘鸿文. 材料力学第5版[M].高等教育出版社..
苏旭明，郑鑫，李大永.汽车设计的耐久性分析[M].机械工业出版社.
汪涛, WangTao. 应力空间内主应力和主方向的解析表达式的探讨[J]. 工业建筑, , 36(s1):346-348.
下期我们来聊聊疲劳测试中传感器的工作原理吧，敬请期待。
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