问题补充:
解答题已知定义在R上的函数,其中a≠1.
(Ⅰ)当a=2时,判断f(x)的单调性并求f(x)的极值点;
(Ⅱ)若y=f(x)的图象与x轴恰有三个不同的交点,求实数a的取值范围.
答案:
解:(Ⅰ)对f(x)求导得:f′(x)=x2-(3a+1)x+2a(a+1),
代入a=2有f′(x)=(x-3)(x-4);
令f′(x)>0得x∈(-∞,3)∪(4,+∞);又令f′(x)<0,得到:x∈(3,4),
于是:f(x)在(-∞,3),(4,+∞)上单调递增;f(x)在(3,4)上单调递减.
当x=3时,f(x)有极大值,当x=4时,f(x)有极小值,所以x=3是极大值点,x=4是极小值点.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:f′(x)=(x-2a)[x-(a+1)],
(1)当a<1时,有:2a<a+1;令f′(x)>0得:x∈(-∞,2a)∪(a+1,+∞);
再令f′(x)<0得:x∈(2a,a+1),故f(x)在(-∞,2a),(a+1,+∞)上单调递增,
在(2a,a+1)上单调递减;此时可知:f(2a)为f(x)的极大值,f(a+1)为f(x)的极小值;
欲使y=f(x)的图象与x轴恰有三个交点,则必有:,
即是:,解得:a∈(-3,-1)∪(-1,0)∪(0,).
(2)当a>1时,有:2a>a+1;令f′(x)>0得:x∈(-∞,a+1)∪(2a,+∞);
再令f′(x)<0得:x∈(a+1,2a),故f(x)在(-∞,a+1),(2a,+∞)上单调递增,
在(a+1,2a)上单调递减;此时可知:f(a+1)为f(x)的极大值,f(2a)为f(x)的极小值;
欲使y=f(x)的图象与x轴恰有三个交点,则必有:,
即是:?a∈?,
???综上可知:a∈(-3,-1)∪(-1,0)∪(0,).解析分析:(Ⅰ)求出f′(x),把a=2代入,解不等式f′(x)>0,及f′(x)<0,由此可判断函数单调性及极值点;(Ⅱ)分情况讨论函数f(x)的极值,若y=f(x)的图象与x轴恰有三个不同的交点,则有极大值大于0,极小值小于0,从而可得a的取值范围;点评:本题考查利用导数研究函数的单调性、极值问题,本题运用了分类讨论思想及数形结合思想.