问题补充:
已知定义在R上的函数是奇函数
(1)求a,b的值;
(2)判断f(x)的单调性,并用单调性定义证明;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t-2t2)+f(-k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
答案:
解:(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴,
解得b=1,(1分)
∴,
∴
∴a?2x+1=a+2x,即a(2x-1)=2x-1对一切实数x都成立,
∴a=1,
故a=b=1.(3分)
(2)∵a=b=1,
∴,
f(x)在R上是减函数.(4分)
证明:设x1,x2∈R且x1<x2
则
=-,
∵x1<x2,
∴,,,
∴f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上是减函数,(8分)
(3)∵不等式f(t-2t2)+f(-k)>0,
∴f(t-2t2)>-f(-k),
∴f(t-2t2)>f(k),
∵f(x)是R上的减函数,
∴t-2t2<k(10分)
∴对t∈R恒成立,
∴.(12分)
解析分析:(1)由f(x)是定义在R上的奇函数,知,故b=1,,,由此能求出a=b=1.(2),f(x)在R上是减函数.证明:设x1,x2∈R且x1<x2,=-,由此能够证明f(x)在R上是减函数.(3)不等式f(t-2t2)+f(-k)>0,等价于f(t-2t2)>f(k),由f(x)是R上的减函数,知t-2t2<k,由此能求出实数k的取值范围.
点评:本题考查函数恒成立问题的综合应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答.
已知定义在R上的函数是奇函数(1)求a b的值;(2)判断f(x)的单调性 并用单调性定义证明;(3)若对任意的t∈R 不等式f(t-2t2)+f(-k)>0恒成立