解答题已知函数f（x）的定义域为I 导数f′（x）满足0＜f′（x）＜2 且f′（x）

问题补充：

解答题已知函数f（x）的定义域为I，导数f′（x）满足0＜f′（x）＜2，且f′（x）≠1，常数c1为方程f（x）-x=0的实数根，常数c2为方程f（x）-2x=0的实数根．

（1）若对任意[a，b]?I，存在x0∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0）成立．求证：方程f（x）-x=0不存在异于c1的实数根；

（2）求证：当x＞c2时，总有f（x）＜2x成立．

答案：

证明：（1）假设方程f（x）-x=0有存在异于c1的实数根m，即f（m）=m，

则∵对任意[a，b]?I，存在x0∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0）成立

∴m-c1=f（m）-f（c1）=（m-c1）f′（x0）成立

∵m≠c1，∴f′（x0）=1，这与f′（x）≠1矛盾

∴方程f（x）-x=0不存在异于c1的实数根；

（2）令h（x）=f（x）-2x，

∵h′（x）=f′（x）-2＜0，

∴函数h（x）为减函数

又∵h（c2）=f（c2）-2c2=0

∴当x＞c2时，h（x）＜0，

即f（x）＜2x成立．解析分析：（1）利用反证法．假设方程f（x）-x=0有存在异于c1的实数根m，即f（m）=m，则有m-c1=f（m）-f（c1）=（m-c1）f′（x0）成立，根据m≠c1，可得f′（x0）=1，从而与f′（x）≠1矛盾，故命题得证；（2）构造h（x）=f（x）-2x，可以得出函数h（x）为减函数，根据h（c2）=f（c2）-2c2=0，可得结论．点评：本题以函数为载体，考查函数与方程的综合运用，考查反证法思想，同时考查了利用导数证明不等式，解题的关键是构造函数，利用导数研究函数的单调性．