问题补充:
解答题已知函数f(x)的定义域为I,导数f′(x)满足0<f′(x)<2,且f′(x)≠1,常数c1为方程f(x)-x=0的实数根,常数c2为方程f(x)-2x=0的实数根.
(1)若对任意[a,b]?I,存在x0∈(a,b),使等式f(b)-f(a)=(b-a)f′(x0)成立.求证:方程f(x)-x=0不存在异于c1的实数根;
(2)求证:当x>c2时,总有f(x)<2x成立.
答案:
证明:(1)假设方程f(x)-x=0有存在异于c1的实数根m,即f(m)=m,
则∵对任意[a,b]?I,存在x0∈(a,b),使等式f(b)-f(a)=(b-a)f′(x0)成立
∴m-c1=f(m)-f(c1)=(m-c1)f′(x0)成立
∵m≠c1,∴f′(x0)=1,这与f′(x)≠1矛盾
∴方程f(x)-x=0不存在异于c1的实数根;
(2)令h(x)=f(x)-2x,
∵h′(x)=f′(x)-2<0,
∴函数h(x)为减函数
又∵h(c2)=f(c2)-2c2=0
∴当x>c2时,h(x)<0,
即f(x)<2x成立.解析分析:(1)利用反证法.假设方程f(x)-x=0有存在异于c1的实数根m,即f(m)=m,则有m-c1=f(m)-f(c1)=(m-c1)f′(x0)成立,根据m≠c1,可得f′(x0)=1,从而与f′(x)≠1矛盾,故命题得证;(2)构造h(x)=f(x)-2x,可以得出函数h(x)为减函数,根据h(c2)=f(c2)-2c2=0,可得结论.点评:本题以函数为载体,考查函数与方程的综合运用,考查反证法思想,同时考查了利用导数证明不等式,解题的关键是构造函数,利用导数研究函数的单调性.