问题补充:
解答题已知椭圆的离心率为,直线l过点A(4,0),B(0,2),且与椭圆C相切于点P.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(0,2)的动直线与曲线相交于不同的两点M、N,曲线E在点M、N处的切线交于点H.试问:点H是否在某一定直线上,若是,试求出定直线的方程;否则,请说明理由.
答案:
解:(Ⅰ)由题得过两点A(4,0),B(0,2)直线l的方程为x+2y-4=0.…(1分)
因为,所以a=2c,.
设椭圆方程为,
由消去x得,4y2-12y+12-3c2=0.
又因为直线l与椭圆C相切,所以△=122-4×4(12-3c2)=0,解得c2=1.
所以椭圆方程为.…(4分)
(Ⅱ)直线m的斜率存在,设直线m的方程为y=kx+2,…(5分)
由,消去y,整理得(k-1)x2+2x-2=0.…(6分)
设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知,解得.…(8分)
由知过点M的切线方程为
过点N的切线方程为…(10分)
两直线的交点坐标,
所以点H所在的直线方程为x=2.…(13分)解析分析:(Ⅰ)由截距式确定直线l的方程,与椭圆方程联立,利用直线l与椭圆C相切,确定c的值,从而可得椭圆方程;(Ⅱ)设直线m的方程与曲线联立,消去y,再求得过点M、N的切线方程,从而可得两直线的交点坐标,即可得到结论.点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与曲线的位置关系,考查切线方程,考查学生的计算能力,属于中档题.