解答题已知函数f（x）=x+x3 x∈R．（1）判断函数f（x）的单调性 并证明你的结

问题补充：

解答题已知函数f（x）=x+x3，x∈R．

（1）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；

（2）若a，b∈R，且a+b＞0，试比较f（a）+f（b）与0的大小．

答案：

解：（1）函数f（x）=x+x3，x∈R是增函数，证明如下：

因为f′（x）=1+3x2＞0恒成立，

所以函数f（x）=x+x3，x∈R是增函数．

（2）由a+b＞0，得a＞-b，由（1）知f（a）＞f（-b），

因为f（x）的定义域为R，定义域关于坐标原点对称，

又f（-x）=（-x）+（-x）3=-x-x3=-（x+x3）=-f（x），

所以函数f（x）为奇函数．

于是有f（-b）=-f（b），

所以f（a）＞-f（b），从而f（a）+f（b）＞0．解析分析：（1）求出导数f′（x），利用导数与函数单调性的关系即可作出判断；（2）由a+b＞0，得a＞-b，由（1）f（x）的单调性可得f（a）＞f（-b），判断f（x）的奇偶性，根据奇偶性的性质可得f（-b）与f（b）的关系，由此即可作出判断；点评：本题考查函数的奇偶性的应用及利用导数判断函数的单调性，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力．