问题补充:
解答题已知数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,2Sn-nan-n=0(n∈N*))
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记,求证:当n∈N*时,.
答案:
解:(1)∵2Sn-nan-n=0,2Sn+1-(n+1)an+1-(n+1)=0
两式相减得2an+1-(n+1)an+1+nan-1=0=1 ∴nan-(n-1)an+1=1
当n=1时,a1=1;
当n≥2时,两边同除以n(n-1)得-=
∴利用叠加法可得
∴
∴n≥2时,an=2n-1,当n=1时,也成立
∴an=2n-1;
(2)由(1)知,=
从而不等式等价于
即证明
又∵
∴,,…,
∴
即有
故成立解析分析:(1)根据2Sn-nan-n=0,再写一式,两式相减可得nan-(n-1)an+1=1,当n=1时,a1=1;当n≥2时,两边同除以n(n-1)得-=,利用叠加法即可确定数列的通项;(2)用分析法证明不等式,由(1)知,=,从而不等式等价于,即证明,利用可得结论.点评:本题考查数列的通项,考查不等式的证明,解题的关键是利用叠加法求数列的通项,利用放缩法证明不等式.