问题补充:
已知函数.
(1)若是函数,y=F(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若函数y=F(x)(x∈(0,3])的图象上任意一点处切线的斜率恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若函数y=f(x)在[1,2]上有两个零点,求实数a的取值范围.
答案:
解:,(2分)
(1)且a>0,∴a=1(4分)
(2)对任意的x∈(0,3]恒成立(5分)
∴2a2≥-x2+2x对任意的x∈(0,3]恒成立,
∴2a2≥(-x2+2x)max,而当x=1时,-x2+2x=-(x-1)2+1取最大值为1,
∴2a2≥1,且a>0,∴(8分)
(3)因为函数在[1,2]上有两个零点,
所以方程a2=-x2+3x在x∈[1,2]上有两个不等实根(a>0)(10分)
又因为函数在x∈[1,2]内的值域为(12分)
由函数图象可得:,a>0,所以:,
即实数a的取值范围是(14分)
解析分析:先求出及其导数(1)是函数,y=F(x)的极值点,故由此方程求a即可(2)函数y=F(x)(x∈(0,3])的图象上任意一点处切线的斜率恒成立,由导数的几何意义知,此条件可以转化为导函数在x∈(0,3]的最大值小于等于,(3)可将函数在[1,2]上有两个零点的问题转化为相应的方程有两个根,分离出参数a,得到a2=-x2+3x在x∈[1,2]上有两个不等实根,由二次函数的性质求得-x2+3x在x∈[1,2]上的值域,根据函数的图象即可得到参数a所满足的条件,a>0,解之即得所求的实数a的取值范围
点评:本题考点是利用导数研究函数的极值,考查了求导的运算,极值存在的条件,导数的几何意义,以及函数的零点与相应方程的根的关系,二次函数的图象与性质等知识,本题综合性强,转化灵活,能答题者观察转化的能力要求较高.
已知函数.(1)若是函数 y=F(x)的极值点 求实数a的值;(2)若函数y=F(x)(x∈(0 3])的图象上任意一点处切线的斜率恒成立 求实数a的取值范围;(3)