问题补充:
已知函数f(x)=4lnx+ax2-6x+b(a,b为常数),且x=2为f(x)的一个极值点.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若函数y=f(x)有3个不同的零点,求实数b的取值范围.
答案:
解:(Ⅰ)函数f?(x)的定义域为(0,+∞)…(1分)
∵f′(x)=,x=2为f(x)的一个极值点…(2分)
∴f(2)=2+4a-6=0,∴a=1.…(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=4lnx+x2-6x+b
∴f′(x)=…(6分)
由f′(x)>0可得x>2或x<1,由f′(x)<0可得1<x<2.
∴函数f?(?x?)?的单调递增区间为?(0,1)和?(2,+∞),单调递减区间为?(1,2?).????????…(9分)
(Ⅲ)?由(Ⅱ)可知函数f?(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.
且当x=1或x=2时,f′(x)=0.?????????????????????????…(10分)
∴f?(x)?的极大值为f(1)=4ln1+1-6+b=b-5…(11分)
f?(x)的极小值为f(2)=4ln2+4-12+b=4ln2-8+b…(12分)
由题意可知
则5<b<8-4ln2…(14分)
解析分析:(Ⅰ)确定函数f?(x)的定义域,利用x=2为f(x)的一个极值点,建立方程,可求a的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=4lnx+x2-6x+b,求导函数,由导数的正负可得函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)?求出f?(x)?的极大值与极小值,根据函数y=f(x)有3个不同的零点,令极大大于0.极小小于0,即可求实数b的取值范围.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查函数的单调性,考查函数的零点,综合性强.
已知函数f(x)=4lnx+ax2-6x+b(a b为常数) 且x=2为f(x)的一个极值点.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)若函数y=f(x)