问题补充:
四棱锥P-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,,
E为PC的中点.
(1)求二面角E-AD-C的正切值;
(2)在线段PC上是否存在一点M,使PC⊥平面MBD成立?若存在,求出MC的长;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)连AC、BD交于点O,连OE,则OE∥PA,从而OE⊥平面ABCD,
过点O作OF⊥AD于点F,连EF,则易证∠EFO就是所求二面角的平面角.
由ABCD是菱形,且∠ABC=120°,AB=1,得,
又,
∴在Rt△OEF中,有.(5分)
(2)证明:过点B作BM⊥PC于点M,连DM,
则∵△PBC≌△PDC,∴DM⊥PC,
∴PC⊥平面MBD,在△PBC中,,
∴∴,
∴在PC上存在点M,且时,有PC⊥平面MBD.(10分)
解析分析:(1)连AC、BD交于点O,连OE,过点O作OF⊥AD于点F,连EF,可得∠EFO就是所求二面角的平面角,解三角形EFO,即可得到二面角E-AD-C的正切值;(2)过点B作BM⊥PC于点M,连DM,可得△PBC≌△PDC,进而得到DM⊥PC,BM⊥PC,由线面垂直的判定定理,即可得到PC⊥平面MBD.
点评:本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定,其中(1)的关键是求出二面角的平面角,(2)的关键是证明DM⊥PC,BM⊥PC.
四棱锥P-ABCD的底面为菱形 且∠ABC=120° PA⊥底面ABCD AB=1 E为PC的中点.(1)求二面角E-AD-C的正切值;(2)在线段PC上是否存在一