问题补充:
四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=AD=,AB∥CD,∠ADC=90°.
(1)在侧棱PC上是否存在一点Q,使BQ∥平面PAD?证明你的结论;
(2)求证:平面PBC⊥平面PCD;
(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
答案:
(1)解:当Q为侧棱PC中点时,有BQ∥平面PAD.
证明如下:如图,取PD的中点E,连AE、EQ.
∵Q为PC中点,则EQ为△PCD的中位线,
∴EQ∥CD且.
∵AB∥CD且,∴EQ∥AB且EQ=AB,
∴四边形ABQE为平行四边形,则BQ∥AE.
∵BQ?平面PAD,AE?平面PAD,
∴BQ∥平面PAD.
(2)证:∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD.
∵AD⊥CD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.
∵AE?平面PAD,∴CD⊥AE.
∵PA=AD,E为PD中点,∴AE⊥PD.
∵CD∩PD=D,∴AE⊥平面PCD.
∵BQ∥AE,∴BQ⊥平面PCD.
∵BQ?平面PBC,∴平面PBC⊥平面PCD.(9分)
(3)解法一:设平面PAD∩平面PBC=l.
∵BQ∥平面PAD,BQ?平面PBC,∴BQ∥l.
∵BQ⊥平面PCD,∴l⊥平面PCD,∴l⊥PD,l⊥PC.
故∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角.(12分)
∵CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.
设,则,
,故.
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.(14分)
解法二:如图建立直角坐标系,设PA=AB=AD=1,CD=2,
则A(0,0,0),B(0,1,0),C(-1,2,0),P(0,0,1),
则,.
设平面PBC的法向量为,则
由,取.(11分)
由CD⊥平面PAD,AB∥CD,知AB⊥平面PAD,
∴平面PAD的法向量为.(12分)
设所求锐二面角的大小为θ,则.
∴所求锐二面角的余弦值为.(14分)
解析分析:(1)当Q为侧棱PC中点时,有BQ∥平面PAD.取PD的中点E,连AE、EQ.只需证明平面PAD外的直线BQ平行于平面PAD内的直线AE,即可.(2)要证平面PBC⊥平面PCD,只需证明AE垂直平面PAD内的两条相交直线CD、PD,BQ∥AE,BQ?平面PBC即可;(3)法一,说明∠DPC就是平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角,然后求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.法二:建立空间直角坐标系,求出平面PBC的法向量,平面PAD的法向量,利用向量的数量积求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
点评:本题主要考查四棱锥的有关知识,涉及线面、面面位置关系的判定与证明,还有二面角的计算.高考立体几何综合题大都以棱柱和棱锥为载体,综合考查空间想象能力和分析、解决问题的能力.空间角的计算一般有传统法和坐标向量法两种基本方法,前者着重思维,后者重在向量的坐标运算,各有优点,解题时既要具体问题具体分析,又要考虑到考生本人对这两种方法掌握的熟练程度而定.
四棱锥P-ABCD中 PA⊥底面ABCD 且PA=AB=AD= AB∥CD ∠ADC=90°.(1)在侧棱PC上是否存在一点Q 使BQ∥平面PAD?证明你的结论;(2