问题补充:
已知函数f(x)满足(其中为f(x)在点处的导数,C为常数).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若方程f(x)=0有且只有两个不等的实数根,求常数C.
答案:
解:(1)由,得.
取,得,解之,得,
∴f(x)=x3-x2-x+C.(2分)
从而,
列表如下:
∴f(x)的单调递增区间是和(1,+∞);f(x)的单调递减区间是.
(2)由(1)知,;
[f(x)]极小值=f(1)=13-12-1+C=-1+C.
∴方程f(x)=0有且只有两个不等的实数根,等价于[f(x)]极大值=0或[f(x)]极小值=0.
∴常数或C=1.
解析分析:(1)先求出函数f(x)的导函数f(x),然后将代入即可求出f,从而求出f(x)的解析式,求出f′(x)=0的值,再讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确单调区间;(2)根据第一问可求出函数f(x)的极大值与极小值,方程f(x)=0有且只有两个不等的实数根,等价于[f(x)]极大值=0或[f(x)]极小值=0,即可求出常数C的值.
点评:本题主要考查了函数的极值,以及利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查计算能力和分析问题的能力,属于基础题.
已知函数f(x)满足(其中为f(x)在点处的导数 C为常数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若方程f(x)=0有且只有两个不等的实数根 求常数C.