问题补充:
已知函数f(x)=21nx与g(x)=a2x2+ax+1(a>0).
(1)设直线x=l与曲线y=f(x)和y=g(x)分别相交于点P,Q且曲线y=f(x)和y=g(x)在点P,Q处的切线平行,求实数a的值;
(2)f′(x)为f(x)的导函数,若对于任意的x∈(0,+∞),-mx≥0恒成立,求实数m的最大值.
答案:
解:(1)∵f′(x)=,∴f′(1)=2,
∵g′(x)=2a2x+a,曲线y=f(x)和y=g(x)在点P,Q处的切线平行,
∴g′(1)=2
∴2a2+a=2
∴a=
∵a>0,∴;
(2)∵f′(x)=,∴-mx≥0等价于
∵x>0,∴m≤
构造函数g(x)=,则
当x∈(0,2)时,g′(x)<0,函数单调减;当x∈(2,+∞)时,g′(x)>0,函数单调增
∴x=2时,函数g(x)=取得最小值
∴对于任意的x∈(0,+∞),-mx≥0恒成立时,m≤
∴实数m的最大值为.
解析分析:(1)先求出f′(1),再利用曲线y=f(x)和y=g(x)在点P,Q处的切线平行,可得f′(1)=g′(1),从而可求实数a的值;(2)先分离参数,再构造函数求最值,即可求得结论.
点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查恒成立问题,解题的关键是分离参数,利用导数确定函数的最值.
已知函数f(x)=21nx与g(x)=a2x2+ax+1(a>0).(1)设直线x=l与曲线y=f(x)和y=g(x)分别相交于点P Q且曲线y=f(x)和y=g(x