问题补充:
已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).
(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)若不等式f(x)<0在区间上恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)比较的大小(n∈N*且n≥2,e是自然对数的底数).
答案:
解:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)
∵函数f(x)=ax-1-lnx,∴
①当a≤0时,f′(x)<0,∴函数f(x)在(0,+∞)上是减函数;
②当a>0时,由f′(x)<0得,由f′(x)>0得x>,
∴函数f(x)在区间(0,)上是减函数;函数f(x)在上是增函数
(Ⅱ)不等式f(x)<0在区间上恒成立,即在区间上恒成立
令,只需g(x)在区间上的最小值g(x)min>a即可
求导函数
当时,g′(x)>0,g(x)在上单调递增;
当1<x<2时,g′(x),<0,g(x)在(1,2)上单调递减
∴g(x)在区间上的最小值是与g(2)中的较小者
∵.
∴
∴
∴g(x)在区间上的最小值是
∴a<2-2ln2
∴实数a的取值范围为(-∞,2-2ln2);
(Ⅲ),证明如下:
据(Ⅰ)知,当a=1时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增
∴f(x)在x=1处取得极小值,且为最小值
∴f(x)=x-1-lnx≥f(1)=0,∴lnx≤x-1
故当n∈N*且n≥2时,=
∵
∴<
∴
∴
解析分析:(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞),求出导函数,再分类讨论:a≤0、a>0,即可确定函数f(x)的单调性;(Ⅱ)不等式f(x)<0在区间上恒成立,即在区间上恒成立,令,只需g(x)在区间上的最小值g(x)min>a即可.(Ⅲ)据(Ⅰ)知,当a=1时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,从而f(x)在x=1处取得极小值,且为最小值,所以lnx≤x-1,进一步利用放缩法即可证得结论.
点评:本题以函数为载体,考查函数的单调性,考查恒成立问题,考查不等式的证明,恒成立问题利用了分离参数法,难度较大.
已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性;(Ⅱ)若不等式f(x)<0在区间上恒成立 求实数a的取值范围;(Ⅲ)比较的大小(n∈N*