问题补充:
已知:△AOC如图A(-1,0)、C(0,3),把△AOC?以O点为旋转中心顺时针方向旋转
90°,使C与B重合
(1)写出B点的坐标,求经过A、B、C三点的抛物线的解析式并画出图象;
(2)求抛物线顶点D的坐标,求证:△BCD是直角三角形;
(3)我们知道△DBC是直角三角形,在抛物线上除D点外,是否还存在另外一个点P,使得△PBC是直角三角形?若存在,请用尺规作图画出这样的点;若不存在,请说明理由;
(4)设抛物线的对称轴与x轴交于点H,射线CH交以O为圆心OC为半径的圆于G,求HG的长.
答案:
(1)解:∵点B是由点C顺时针旋转90°得到的,且C(0,3),
∴B(3,0).
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则,解得
,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3.
∴抛物线的图象为:
(2)证明:∵y=-x2+2x+3.
∴y=-(x-1)2+4
∴D(1,4),
∴DC2=1+1=2,BC2=9+9=18,BD2=16+4=20
∴DC2+BC2=BD2,
∴△BCD是直角三角形.
(3)解:如图:作BC的中垂线交BC于点M,
在以点M 为圆心,MC为半径画弧,与抛物线相交于点P,
∴点P是所求作的点.
(4)解:∵D(1,4),
∴OH=1,
∴由勾股定理得:HC=,连接EG,
∴∠EGC=∠COH=90°,
∴△COH∽△CGE,
∴,
∴,
∴CG=,
∴HG=-=.
解析分析:(1)由旋转可以得出OB=OC,从而可以得出B点的坐标,在设出抛物线的解析式运用待定系数法将A、B、C三点的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式,根据特殊点可以画出大致图象.
(2)根据点的坐标由勾股定理求出△BCD各边的长,再由勾股定理的逆定理就可以判断出△BCD是直角三角形.
(3)根据直角三角形的性质,斜边上的中线等于斜边的一半来作出图形就可以.
(4)连接EG,由圆周角定理可以得出∠EGC=90°,得出△COH∽△CGE,根据相似三角形的性质求出CG,从而可以求出HG的值.
点评:本题考查了二次函数的性质,待定系数法求二次函数的解析式,直角三角形的性质,勾股定理的运用,圆周角定理的运用.
已知:△AOC如图A(-1 0) C(0 3) 把△AOC?以O点为旋转中心顺时针方向旋转90° 使C与B重合(1)写出B点的坐标 求经过A B C三点的抛物线的解析