问题补充:
如图,∠CAB=∠ABD=90°,AB=AC+BD,AD交BC于P,作⊙P与AB相切.
试问:以AB为直径作出的⊙O与⊙P的位置关系怎样?请作出判断并加以证明.
答案:
解:⊙O与⊙P相内切.
理由:如图:若AB与⊙P切于Q,连接PQ,
∴PQ⊥AB,
设PQ=r,AC=a,BD=b,
∵∠CAB=∠ABD=90°,
∴AC∥DB,
∴△BPQ∽△BCA,△APQ∽△ADB,
∴=,=,
∴=,
∴r=,
∵⊙O的半径R=,
∴Rr=,
∴AQ===a,
∴OQ=-a=,
连接PO
则PO===-=R-r.
∴⊙O与⊙P相内切.
解析分析:首先设PQ=r,AC=a,BD=b,易证得△BPQ∽△BCA,△APQ∽△ADB,得到 =,=,故可求得r的值;然后⊙O的半径R=,⊙P的半径为r=,可得到AQ===a,OQ=-a=,连接PO,由勾股定理得到PO=R-r,故⊙O与⊙P相内切.
点评:本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆与圆的位置关系等知识.此题综合性较强,难度较大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
如图 ∠CAB=∠ABD=90° AB=AC+BD AD交BC于P 作⊙P与AB相切.试问:以AB为直径作出的⊙O与⊙P的位置关系怎样?请作出判断并加以证明.