问题补充:
如图,已知AB=AC+BD,∠CAB=∠ABD=90°AD交BC于P,⊙P与AB相切于点Q.设AC=a,BD=b(a≤b).
(1)求⊙P的半径r;
(2)以AB为直径在AB的上方作半圆O(用尺规作图,保留痕迹,不写作法),请你探索⊙O与⊙P的位置关系,做出判断并加以证明;
(3)设a=2,b=4,能否在半圆O中,再画出两个与⊙P同样大小的⊙M和⊙N,使这3个小圆两两相交,并且每两个小圆的公共部分的面积都小于π?请说出你的结论,并给出证明.
答案:
解:(1)如图1,连接PQ,
∵⊙P与AB相切于Q
∴PQ⊥AB且PQ=r
∵∠CAB=∠ABD=90°
∴△BPQ∽△BCA,△APQ∽△ADB
∴=,=
∴=
∴r=;
(2)如图2:⊙O与⊙P相切,
证明:∵⊙O的半径R=
∴Rr=
∴AQ===a
OQ=-a=
连接PO
则PO===-=R-r
∴⊙O与⊙P相切;
(3)由(2)知,半圆O的半径==3,
假设符合要求的图形存在,每两个圆的公共部分的面积分别为SPM、SMN、SPN,则它们均小于π,又设每个小圆的面积为S,三个小圆公共部分的面积为SPMN,则三个小圆的覆盖面积=3S-(SPM+SMN+SPN)+SPMN>3π?2-π+SPMN≥π=π=半圆O的面积,而这是不可能的,故不能在这个半圆O中画出符合要求的⊙M和⊙N.
解析分析:(1)易证得△BPQ∽△BCA,△APQ∽△ADB,得到=,=,故可求得r的值;
(2)作出AB的中垂线交于AB于点O,以点O为圆心,AO为半径作半圆,即可,由于⊙O的半径R=,⊙P的半径为r=,可得到AQ===a,OQ=-a=,连接PO,由勾股定理得到PO=R-r,故⊙O与⊙P相切;
(3)用反证法判断.
点评:本题利用了相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆的面积公式,反证法求解,还考查了圆的作法.
如图 已知AB=AC+BD ∠CAB=∠ABD=90°AD交BC于P ⊙P与AB相切于点Q.设AC=a BD=b(a≤b).(1)求⊙P的半径r;(2)以AB为直径在