问题补充:
如图,已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分别是BC、AD的中点,连接AE、CF.
(1)证明:四边形AECF是矩形;
(2)若AB=8,求菱形的面积.
答案:
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
又∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∵E是BC的中点,
∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一),
∴∠1=90°,
∵E、F分别是BC、AD的中点,
∴AF=AD,EC=BC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC且AD=BC,
∴AF∥EC且AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形),
又∵∠1=90°,
∴四边形AECF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形);
(2)解:在Rt△ABE中,AE==4,
所以,S菱形ABCD=8×4=32.
解析分析:(1)根据菱形的四条边都相等可得AB=BC,然后判断出△ABC是等边三角形,然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC,∠AEC=90°,再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等,从而判定出四边形AECF是平行四边形,再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证;
(2)根据勾股定理求出AE的长度,然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解.
点评:本题考查了矩形的判定,菱形的性质,平行四边形的判定,勾股定理的应用,等边三角形的判定与性质,证明得到四边形AECF是平行四边形是解题的关键,也是突破口.
如图 已知菱形ABCD AB=AC E F分别是BC AD的中点 连接AE CF.(1)证明:四边形AECF是矩形;(2)若AB=8 求菱形的面积.