问题补充:
如图,A、B两工厂在河边CD的同侧,A、B两工厂到河边的距离分别为AC=3.5km,BD=12.5km,CD=12km,现要在河边CD上建一水厂P向A、B两工厂输送自来水,铺设水管时工程费为每千米2000元.请你设计一种方案:要求水厂P建在线段CD上且能使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的最省费用.
答案:
解:(1)如图所示,若建在C点,根据垂线段最短和两点之间线段最短,可确定最短距离是:D1=AC+AB,
过点A作AE⊥BD,由AC=3.5km,BD=12.5km,CD=12km,
易得BE=BD-AC=12.5-3.5=9km,
AE=CD=12km,
在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2,
即AB2=122+92,
AB=15km,
则最短距离是:AC+AB=3.5+15=18.5km,
工程费用为:18.5×2000=37000元.
(2)如图所示,若建在D点,根据垂线段最短和两点之间线段最短,可确定最短距离是:D2=BD+AB,
∵BD=12.5,且由(1)可知AB=15km,
∴最短距离是:BD+AB=12.5+15=27.5km,
工程费用为:27.5×2000=55000元.
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(3)如图所示,若建在线段CD(不包括C,D点),分别向A、B两地输送自来水,作A点关于直线CD的对称点E,连接BE,与CD交于点P,则PA+PB最短,过E作EF∥CD与BD交于点F,由作图可知,
PA=EP,EF=CD=12km,AC=CE=DF=3.5KM,
所以PA+PB=EP+PB=EB,在Rt△BEF中,
EF=12km,BF=BD+DF=12.5+3.5=16KM,
由勾股定理可得:BE2=BF2+EF2,
BE2=162+122,
解得:BE=20,
工程费用为:20×2000=40000元.
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故综合考虑水厂P应建在C点,铺设水管的最省,最底费用为37000元.
解析分析:将铺设水管的最省费用问题,转化成求最短路线问题.
本题并未明确指出是由水厂“分别”向A、B两两地输送自来水,也可以先经A村,再送到B村,或先经B村现到A村.
分情况讨论:(1)若建在C点,根据垂线段最短和两点之间线段最短,可确定最短距离是:AC+AB.
(2)若建在D点,根据垂线段最短和两点之间线段最短,可确定最短距离是:DB+AB.
(3)若建在线段CD(不包括C,D点),如图所示,根据对称可确定,最知道距离是:BA′.
点评:本题主要考查求最短路线问题,要针对具体的情境和数据具体分析解决,不能简单套用,机械模仿.
如图 A B两工厂在河边CD的同侧 A B两工厂到河边的距离分别为AC=3.5km BD=12.5km CD=12km 现要在河边CD上建一水厂P向A B两工厂输送自