问题补充:
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F,连接AD与内切圆相交于另一点P,连接PC、PE、PF、FD,且PC⊥PF.
求证:(1)△PFD∽△PDC;(2)=.
答案:
解:(1)∵BC与圆相切,
∴∠PFD=∠PDC.
∵BF、BD分别于圆相切,
∴∠BFD=∠BDF=45°.
∴∠FPD=45°.
∵PC⊥PF,
∴∠FPD=∠DPC.
∴△PFD∽△PDC.
(2)∵AE、AF与圆相切,
∴∠AFP=∠ADF,∠AEP=∠ADE,
∵∠FAD=∠PAF,∠EAP=∠DAE,
∴△AFP∽△ADF,△AEP∽△ADE,
∴、且AE=AF,
∴.
∵△PFD∽△PDC,
∴.
∴=.
解析分析:(1)证明三角形相似只要知道两个角相等即可,根据弦切角定理很容易的出∠PFD=∠PDC,由角度关系可以知道∠FPD=DPC,即可证明.
(2)要证=,由(1)知道,只要证明,根据AE、AF与圆相切,可以求得.
点评:本题主要考查三角形相切的性质,结合角度关系来求.注意线段之间的转化,方便求解.
如图 在Rt△ABC中 ∠B=90° 它的内切圆分别与边BC CA AB相切于点D E F 连接AD与内切圆相交于另一点P 连接PC PE PF FD 且PC⊥PF.