问题补充:
如图①A、E、F、C在一条直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,B?F⊥AC,若AB=CD.
(1)图①中有________对全等三角形,并把它们写出来________;
(2)求证:BD与EF互相平分于G;
(3)若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时,其余条件不变,第(2)题中的结论是否成立,如果成立,请予证明.
答案:
解:(1)图①中有3对全等三角形,它们是△AFB≌△DEC,△DEG≌△BFG,△AGB≌△CGD.
(2)∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AFB=∠CED=90°
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
即AF=CE,
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
,
∴Rt△ABF≌Rt△CED(HL),
∴ED=BF.
由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF,
∴∠EDG=∠GBF,
∵∠EGD和∠FGB是对顶角,ED=BF,
△DEG≌△BFG,
∴EG=FG,DG=BG,
所以BD与EF互相平分于G;
(3)第(2)题中的结论成立,
理由:∵AE=CF,
∴AE-EF=CF-EF,即AF=CE,
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠AFB=∠CED=90°,
在Rt△ABF和Rt△CDE中,
,
∴Rt△ABF≌Rt△CED(HL),
∴BF=ED.
∵∠BFG=∠DEG=90°,
∴BF∥ED,
∴∠FBG=∠EDG,
∴△BFG≌△DEG,
∴FG=GE,BG=GD,
即第(2)题中的结论仍然成立.
解析分析:(1)利用A、E、F、C在一条直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,B?F⊥AC,若AB=CD可判断全等三角形的个数.(2)先根据DE⊥AC,B?F⊥AC,AE=CF,求证△ABF≌△CDE,再求证△DEG≌△BFG,即可.(3)先根据DE⊥AC,B?F⊥AC,AE=CF,求证△ABF≌△CED,再求证△BFG≌△DEG,即可得出结论.
点评:此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握,此题难度并不大,但是需要证明多次全等,步骤繁琐,是一道综合性较强的中档题.
如图①A E F C在一条直线上 AE=CF 过E F分别作DE⊥AC B?F⊥AC 若AB=CD.(1)图①中有________对全等三角形 并把它们写出来____