问题补充:
已知函数(a,b∈R).
(Ⅰ)若曲线C:y=f(x)经过点P(1,2),曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直,求a,b的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,试求函数(m为实常数,m≠±1)的极大值与极小值之差;
(Ⅲ)若f(x)在区间(1,2)内存在两个不同的极值点,求证:0<a+b<2.
答案:
(Ⅰ)解:求导函数可得f(x)=x2+2ax+b,
∵直线x+2y-14=0的斜率为,∴曲线C在点P处的切线的斜率为2,∴f(1)=1+2a+b=2…①
∵曲线C:y=f(x)经过点P(1,2),∴…②
由①②得:a=-,b=…(3分)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:,∴,∴,由g(x)=0?x=0,或.
当m2-1>0,即m>1,或m<-1时,x,g(x),g(x)变化如下表
x(-∞,0)0g(x)+0-0+g(x)极大值极小值由表可知:=…(5分)
当m2-1<0,即-1<m<1时,x,g(x),g(x)变化如下表
x(-∞,0)0g(x)-0+0-g(x)极小值极大值由表可知:=…(7分)
综上可知:当m>1,或m<-1时,g(x)极大-g(x)极小=;
当-1<m<1时,g(x)极大-g(x)极小=…(8分)
(Ⅲ)证明:因为f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点,所以f′(x)=0,
即x2+2ax+b=0在(1,2)内有两个不等的实根.
∴?…(10分)
由?(1)+(3)得:a+b>0,…(11分)
由(4)得:a+b<,由(3)得:-2<a<-1,
∴a2+a=(a+)2-<2,∴a+b<2.
故0<a+b<2…(12分)
解析分析:(Ⅰ)求导函数,利用曲线C在点P处的切线的斜率为2及曲线C:y=f(x)经过点P(1,2),建立方程,即可求得a,b的值;(Ⅱ)求导函数,确定函数的单调性,分类讨论,确定函数的极值,从而可得g(x)极大-g(x)极小;(Ⅲ)因为f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点,所以f′(x)=0,即x2+2ax+b=0在(1,2)内有两个不等的实根,由此建立不等式,从而可得结论.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查分类讨论的数学思想,考查不等式的证明,正确求导是关键.
已知函数(a b∈R).(Ⅰ)若曲线C:y=f(x)经过点P(1 2) 曲线C在点P处的切线与直线x+2y-14=0垂直 求a b的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下 试求函