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例3求方程dydx=y−x+1y+x+5\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\cfrac{y-x+1}{y+x+5}dxdy=y+x+5y−x+1的通解。例14已知y1=3,y2=3+x2,y3=3+exy_1=3,y_2=3+x^2,y_3=3+e^xy1=3,y2=3+x2,y3=3+ex是某二阶线性非齐次方程的三个特解，求该微分方程及通解。例17设f(x)f(x)f(x)在(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)上有定义，f′(0)=2f'(0)=2f′(0)=2，对于任意的x,y,f(x+y)=exf(y)+eyf(x)x,y,f(x+y)=e^xf(y)+e^yf(x)x,y,f(x+y)=exf(y)+eyf(x)，求f(x)f(x)f(x)。写在最后例3求方程dydx=y−x+1y+x+5\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\cfrac{y-x+1}{y+x+5}dxdy=y+x+5y−x+1的通解。
解令x=X+h,y=Y+kx=X+h,y=Y+kx=X+h,y=Y+k，代入原方程得dYdX=Y−X−h+k+1Y+X+h+k+5\cfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\cfrac{Y-X-h+k+1}{Y+X+h+k+5}dXdY=Y+X+h+k+5Y−X−h+k+1。
令{−h+k+1=0,h+k+5=0,\begin{cases}-h+k+1=0,\\h+k+5=0,\end{cases}{−h+k+1=0,h+k+5=0,得h=−2,k=−3h=-2,k=-3h=−2,k=−3。原方程变为dYdX=Y−XY+X\cfrac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\cfrac{Y-X}{Y+X}dXdY=Y+XY−X。
令YX=u\cfrac{Y}{X}=uXY=u得u+XdudX=u−1u+1u+X\cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X}=\cfrac{u-1}{u+1}u+XdXdu=u+1u−1。由此可得arctanu+12ln(1+u2)=−ln∣X∣+C\arctan u+\cfrac{1}{2}\ln(1+u^2)=-\ln|X|+Carctanu+21ln(1+u2)=−ln∣X∣+C。
则原方程的通解为arctany+3x+2+12ln[1+(y+3x+2)2]=−ln∣x+2∣+C\arctan\cfrac{y+3}{x+2}+\cfrac{1}{2}\ln\left[1+\left(\cfrac{y+3}{x+2}\right)^2\right]=-\ln|x+2|+Carctanx+2y+3+21ln⎣⎡1+(x+2y+3)2⎦⎤=−ln∣x+2∣+C。（这道题主要利用了待定系数求解）
例14已知y1=3,y2=3+x2,y3=3+exy_1=3,y_2=3+x^2,y_3=3+e^xy1=3,y2=3+x2,y3=3+ex是某二阶线性非齐次方程的三个特解，求该微分方程及通解。
解y2−y1=x2,y3−y1=exy_2-y_1=x^2,y_3-y_1=e^xy2−y1=x2,y3−y1=ex为齐次方程的两个线性无关的特解，则所求方程的通解为
y=C1x2+C2ex+3,(1)y=C_1x^2+C_2e^x+3,\tag{1} y=C1x2+C2ex+3,(1)
(1)(1)(1)式求导得
y′=2C1x+C2ex,(2)y'=2C_1x+C_2e^x,\tag{2} y′=2C1x+C2ex,(2)
再求导得
y′′=2C1+C2ex,(3)y''=2C_1+C_2e^x,\tag{3} y′′=2C1+C2ex,(3)
(3)−(2)(3)-(2)(3)−(2)得
y′′−y′=2C1(1−x),(4)y''-y'=2C_1(1-x),\tag{4} y′′−y′=2C1(1−x),(4)
(1)−(2)(1)-(2)(1)−(2)得
y−y′=C1(x2−2x)+3,(5)y-y'=C_1(x^2-2x)+3,\tag{5} y−y′=C1(x2−2x)+3,(5)
联立(4)(4)(4)和(5)(5)(5)消去C1C_1C1得(2x−x2)y′′+(x2−2)y′+2(1−x)y=6(1−x)(2x-x^2)y''+(x^2-2)y'+2(1-x)y=6(1-x)(2x−x2)y′′+(x2−2)y′+2(1−x)y=6(1−x)。（这道题主要利用了参数消去求解）
例17设f(x)f(x)f(x)在(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)上有定义，f′(0)=2f'(0)=2f′(0)=2，对于任意的x,y,f(x+y)=exf(y)+eyf(x)x,y,f(x+y)=e^xf(y)+e^yf(x)x,y,f(x+y)=exf(y)+eyf(x)，求f(x)f(x)f(x)。
解在等式f(x+y)=exf(y)+eyf(x)f(x+y)=e^xf(y)+e^yf(x)f(x+y)=exf(y)+eyf(x)中令x=y=0x=y=0x=y=0，得f(0)=2f(0)f(0)=2f(0)f(0)=2f(0)，则f(0)=0f(0)=0f(0)=0。
f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=limΔx→0exf(Δx)+eΔxf(x)−f(x)Δx=exlimΔx→0f(Δx)Δx+f(x)=exf′(0)+f(x)=2ex+f(x).\begin{aligned} f'(x)&=\lim\limits_{\Delta x\to0}\cfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x\to0}\cfrac{e^xf(\Delta x)+e^{\Delta x}f(x)-f(x)}{\Delta x}\\ &=e^x\lim\limits_{\Delta x\to0}\cfrac{f(\Delta x)}{\Delta x}+f(x)\\ &=e^xf'(0)+f(x)=2e^x+f(x). \end{aligned} f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)=Δx→0limΔxexf(Δx)+eΔxf(x)−f(x)=exΔx→0limΔxf(Δx)+f(x)=exf′(0)+f(x)=2ex+f(x).
解此线性方程得f(x)=ex(2x+C)f(x)=e^x(2x+C)f(x)=ex(2x+C)。由f(0)=0f(0)=0f(0)=0知C=0C=0C=0，则f(x)=2xexf(x)=2xe^xf(x)=2xex。（这道题主要利用了导数对于求解）
写在最后
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