反比例函数与几何变换
反比例函数在中考数学压轴题中，很少出现，反而是在中档题型出现次数比较多。如果中考数学压轴题出现了反比例函数，那么恭喜这考区的考生了，你即将摆脱中考的束缚，从此走向高中的人生巅峰。因为反比例函数的压轴题难度不够大，基础不错的大部分考生都能轻松解决。
其实反比例函数的压轴题与二次函数的压轴题非常类似，都是有尊严的压轴题，肯定不会太简单的。但是，反比例函数压轴题的题型都是离不开因动点产生的一系列问题。比如等腰三角形问题、平行四边形问题、取值范围问题等。基本数学思想都逃不开分类讨论思想、方程思想、化归思想等。
备考时，掌握这些压轴题的基本规律，那么你将成功了一半！剩下那一半，与你的考试状态、复习掌握程度等相关，不能掉以轻心
下面，精选一道反比例函数的压轴题，供考生复习巩固！
例题分析
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣10经过点A（12，0）和B（a，﹣5），双曲线y＝m/x（x＞0）经过点B．
（1）求直线y＝kx﹣10和双曲线y＝m/x的函数表达式；
（2）点C从点A出发，沿过点A与y轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C的运动时间为t（0＜t＜12），连接BC，作BD⊥BC交x轴于点D，连接CD，
①当点C在双曲线上时，t的值为_____；
②在0＜t＜6范围内，∠BCD的大小如果发生变化，求tan∠BCD的变化范围；如果不发生变化，求tan∠BCD的值．
【分析】
（1）由待定系数法即可解决问题；
（2）①求出点C坐标即可解决问题；
②如图1中，设直线AB交y轴于M，则M（0，﹣10），A（12，0），取CD的中点K，连接AK、BK．证明A、D、B、C四点共圆，可得∠DCB＝∠DAB，推出tan∠DCB＝tan∠DAB＝OM/OA，即可解决问题；
③分两种情形分别构建方程即可解决问题；
【解答】
解：（1）∵直线y＝kx﹣10经过点A（12，0）和B（a，﹣5），
∴12k﹣10＝0，
∴k＝5/6，
∴y＝5/6x﹣10，
∴﹣5＝5/6a﹣10，
∴a＝6，
∴B（6，﹣5），
∵双曲线y＝m/x（x＞0）经过点B，
∴m＝﹣30，
∴双曲线解析式为y＝﹣30/x．
（2）①∵AC∥y轴，
∴点C的横坐标为12，
y＝﹣30/12＝﹣5/2，
∴C（12，﹣5/2），
∴AC＝5/2，
∴点C在双曲线上时，t的值为5/2．
故答案为5/2．
②当0＜t＜6时，点D在线段OA上，∠BCD的大小不变．
理由：如图1中，设直线AB交y轴于M，则M（0，﹣10），A（12，0），取CD的中点K，连接AK、BK．
∵∠CBD＝∠DAC＝90°，DK＝KC，
∴BK＝AK＝0.5CD＝DK＝KC，
∴A、D、B、C四点共圆，
∴∠DCB＝∠DAB，
∴tan∠DCB＝tan∠DAB＝OM/OA＝10/12＝5/6．
【点评】
本题考查反比例函数综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、四点共圆、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
