中考数学压轴题冲刺，二次函数相关的点的存在性问题
二次函数，在中考数学中一直都是以压轴题的方式存在。尤其是这些点的存在性问题，出题方式变化多端。既有因动点产生的一系列几何问题，比如：最值问题（线段的最小值问题、周长或面积的最小值问题等），三角形问题（等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形等），四边形问题（平行四边形问题、特殊的平行四边形问题）；又有因动点产生的一系列代数问题，比如：面积中的函数关系问题，定值问题，定点问题等。
如果能吃透这一系列问题，那么在中考中，你将领先别人至少10分。从此，妈妈再也不用担心你的学习。那么，先从下面这两题练练手吧！
经典例题1
例题1、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx^2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．
（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx+b经过点D和点E（﹣1，﹣2），求直线DE的表达式；
（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．
分析
（1）把A点坐标代入可求得m的值，可求得抛物线的表达式，令y＝0可求得B、C两点的坐标；
（2）由（1）可求得抛物线的对称轴，可求得D点坐标，再利用待定系数法可求得直线DE的表达式；
（3）由条件可知当直线和抛物线的图像不能都在x轴上方，结合直线和抛物线的图象可求得t的范围．
解答
解：（1）∵抛物线y＝mx^2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），
∴m+4＝3．
∴m＝﹣1．
∴抛物线的表达式为y＝-x2+2x+3．
∵抛物线y＝﹣x^2+2x+3与x轴交于点B，C，
∴令y＝0，即﹣x^2+2x+3＝0．
解的 x1＝-1，x2＝3．
又∵点B在点C左侧，
∴点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（3，0）；
（2）∵y＝﹣x^2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，
∴点D的坐标为（1，0）．
∵直线y＝kx+b经过点D（1，0）和点E（﹣1，﹣2），
∴k+b=0;-k+b=-2
解得k=1,b=-1
∴直线DE的表达式为y＝x-1；
（3）如图，当P点在D、B两点之间时，M、N都在x轴上方，
∴点M、N至少有一个点在x轴下方的t的范围为：t＜1或t＞3．
点评
本题主要考查二次函数与一次函数的综合，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点坐标是解题的关键，在（3）中注意数形结合思想的应用．
经典例题2
例题2、如图，已知抛物线y＝ax^2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式．
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交轴BC于点N，求MN的最大值．
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1＝6S2，求点P的坐标．
分析
（1）设直线BC的解析式为y＝mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y＝x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；
（3）先求出△ABN的面积S2＝5，则S1＝6S2＝30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD＝3√2，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ＝BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE＝√2BD＝6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y＝﹣x﹣1，然后解方程组y=-x-1,y=x^2-6x+5，即可求出点P的坐标．
解答
点评
本题考查了二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键．
