问题补充:
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2,点M在线段PD上,且AM⊥MC.
(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;
(2)求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值;
(3)求二面角M-AC-D的余弦值.
答案:
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,
又CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AM,
∵AM⊥MC,CD∩MC=C
∴AM⊥平面PCD,
∵AM?平面ABM,∴平面ABM⊥平面PCD.
(2)解:以A为坐标原点,AB为x轴,建立空间直角坐标系,如图.
则A(0,0,0),P(0,0,4),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),
由于PA=AD,AM⊥PD,∴M是PD的中点,∴M(0,2,2);
设平面ACM的一个法向量,由,可得:,令z=1,则.
设CD与平面ACM所成的角为α,又,则.
所以直线CD与平面ACM所成的角的正弦值为.
(3)解:由于PA⊥平面ACD,取平面ACD的法向量为,平面ACM的法向量为,
∴.
∴二面角M-AC-D的余弦值为.
解析分析:(1)证明CD⊥平面PAD,可得CD⊥AM,利用AM⊥MC,可得AM⊥平面PCD,利用面面垂直的判定,即可证明平面ABM⊥平面PCD;(2)建立空间直角坐标系,求出平面ACM的一个法向量,,利用向量的夹角公式即可得到结论;(3)确定平面ACD的法向量为,平面ACM的法向量为,利用向量的夹角公式即可求二面角M-AC-D的余弦值.
点评:本题考查面面垂直,考查线面角、面面角,考查利用向量知识解决立体几何问题,正确求平面的法向量是关键.
在四棱锥P-ABCD中 底面ABCD是矩形 PA⊥平面ABCD PA=AD=4 AB=2 点M在线段PD上 且AM⊥MC.(1)求证:平面ABM⊥平面PCD;(2)求