问题补充:
如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D,与直线y=x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连接DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长;
(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.
答案:
解:(1)∵圆心O在坐标原点,圆O的半径为1
∴点A、B、C、D的坐标分别为A(-1,0)、B(0,-1)、C(1,0)、D(0,1)
∵抛物线与直线y=x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C
∴M(-1,-1)、N(1,1)
∵点D、M、N在抛物线上,将D(0,1)、M(-1,-1)、N(1,1)的坐标代入y=ax2+bx+c,
得:
解之,得:
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1.
(2)∵y=-x2+x+1=-(x-)2+
∴抛物线的对称轴为
∴OE=,DE=
连接BF,则∠BFD=90°
∴△BFD∽△EOD
∴
又DE=,OD=1,DB=2
∴FD=
∴EF=FD-DE=.
(3)点P在抛物线上.
设过D、C点的直线为y=kx+b
将点C(1,0)、D(0,1)的坐标代入y=kx+b,得
k=-1,b=1
∴直线DC为y=-x+1
过点B作圆O的切线BP与x轴平行,P点的纵坐标为y=-1
将y=-1代入y=-x+1,得x=2
∴P点的坐标为(2,-1)
当x=2时,y=-x2+x+1=-22+2+1=-1
所以,P点在抛物线y=-x2+x+1上.
解析分析:(1)根据图形,易得点A、B、C、D的坐标;进而可得抛物线上三点D、M、N的坐标,将其代入解析式,求可得解析式;
(2)有(1)的解析式,可得顶点坐标,即OE、DE的长,易得△BFD∽△EOD,再由EF=FD-DE的关系代入数值可得
如图 在平面直角坐标系xOy中 半径为1的圆的圆心O在坐标原点 且与两坐标轴分别交于A B C D四点.抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D 与直线y=x交于点M