问题补充:
如图1,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为,直线与坐标轴分别交于A、C两点,点B的坐标为(4,1),⊙B与x轴相切于点M.
(1)求点A的坐标及∠CAO的度数;
(2)⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移,同时,若直线l绕点A顺时针匀速旋转,当⊙B第一次与⊙O相切时,直线l也恰好与⊙B第一次相切,见图(2)求B1的坐标以及直线AC绕点A每秒旋转多少度?
(3)若直线l不动,⊙B沿x轴负方向平移过程中,能否与⊙O与直线l同时相切?若相切,说明理由.
答案:
解:(1)直线.
当x=0时,y=-;当y=0,时,x=-,
所以A(,0).
∵C(0,),
∴OA=OC,
∵OA⊥OC,
∴∠CAO=45°.
(2)如图,设⊙B平移t秒到⊙B1处与⊙O第一次相切,
此时,直线l旋转到l1恰好与⊙B1第一次相切于点P,⊙B1与x轴相切于点N,连接B1O,B1N.
则MN=t,OB1=,B1N=1,B1N⊥AN.
∴ON=1,
∴MN=3,即t=3.
连接B1A,B1P,则B1P⊥AP,B1P=B1N,
∴∠PAB1=∠NAB1.
∵OA=OB1=,
∴∠AB1O=∠NAB1.
∴∠PAB1=∠AB1O.
∴PA∥B1O.
在Rt△NOB1中,∠B1ON=45°,
∴∠PAN=45°,
∴∠1=90°.
∴直线AC绕点A平均每秒旋转270°÷3=90°.
(3)能,设⊙B与⊙O第二次相切时⊙B的圆心为B2,作B2E⊥AC于E,作OH⊥AC于H.
∵△OAC为等腰直角三角形,且OA=OC=,
∴根据勾股定理得到AC=2,
又OH⊥AC,
∴OH为斜边AC上的中线,
∴OH=AC=1,
∴OH=B2E=1,
∵B2E⊥l,OH⊥l,
∴B2E∥OH,
∵四边形B2EHO为平行四边形,
则B2E=OH=1,
故此时⊙B与圆0与直线l同时相切.
解析分析:(1)根据直线的解析式,易得AC的坐标,进而可得OA、OC的关系,由三角函数的定义可得∠CAO的大小;
(2)设相切时,MN=t,易得ON,MN的值,进而可得∠AB1O=∠NAB1,故PA∥B1O;
易得在Rt△NOB1中,∠1=90°,即可得出
如图1 在平面直角坐标系中 以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为 直线与坐标轴分别交于A C两点 点B的坐标为(4 1) ⊙B与x轴相切于点M.(1)求点A的坐标及∠CA