问题补充:
如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标?轴分别交于A、B、C、D四点.抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D,与直线y=x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连接DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长;
(3)过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P,在抛物线上找一点Q,使△BDQ的面积与△BDP的面积相等,求点Q的坐标.
答案:
解:(1)∵圆心O在坐标原点,圆O的半径为1,
∴A(-1,0)、B(0,-1)、C(1,0)、D(0,1),
∵抛物线与直线y=x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C,
∴M(-1,-1)、N(1,1),
∵点D、M、N在抛物线上,
∴将D(0,1)、M(-1,-1)、N(1,1)的坐标代入y=ax2+bx+c,
得:,
解得:,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1;
(2)∵y=-x2+x+1=-(x-)2+,
∴抛物线的对称轴为直线x=,
∴OE=,DE==,
连接BF,则∠BFD=90°,
∴△BFD∽△EOD,
∴=,
又∵DE=,OD=1,DB=2,
∴FD=
∴EF=FD-DE=-=;
(3)根据题意得到点P在抛物线上,理由为:
设过D、C点的直线为y=kx+b,
将点C(1,0)、D(0,1)的坐标代入y=kx+b,得k=-1,b=1,
∴直线DC为y=-x+1,
过点B作圆O的切线BP与x轴平行,P点的纵坐标为y=-1,
将y=-1代入y=-x+1,得x=2,
∴P点的坐标为(2,-1),
当x=2时,y=-x2+x+1=-22+2+1=-1,
则P点在抛物线y=-x2+x+1上;
可得S△BDP=BP?BD=×2×2=2,
由S△BDP=S△BDQ,设Q横坐标为x,
∴S△BDQ=BD?|xQ|=2,即|xQ|=2,
∴xQ=2或-2,
当Q横坐标为2时,与P重合,舍去;当Q横坐标为-2时,代入抛物线解析式得:y=-x2+x+1=-4-2+1=-5,
则Q坐标为(-2,-5).
解析分析:(1)根据图形,易得点A、B、C、D的坐标;进而可得抛物线上三点D、M、N的坐标,将其代入解析式,求可得解析式;
(2)由(1)的解析式,可得顶点坐标,即OE、DE的长,易得△BFD∽△EOD,再由EF=FD-DE的关系代入数值可得
如图 在平面直角坐标系xOy中 半径为1的圆的圆心O在坐标原点 且与两坐标?轴分别交于A B C D四点.抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D 与直线y=x交于点