问题补充:
如图,AB是⊙O的直径,DF切⊙O于点D,BF⊥DF于F,过点A作AC∥BF交BD的延长线于点C.
(1)求证:∠ABC=∠C;
(2)设CA的延长线交⊙O于E,BF交⊙O于G,若的度数等于60°,试简要说明点D和点E关于直线AB对称的理由.
答案:
证明:(1)连接OD,
∵DF为⊙O的切线,
∴OD⊥DF.
∵BF⊥DF,AC∥BF,
∴OD∥AC∥BF.
∴∠ODB=∠C.
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB.
∴∠ABC=∠C.
(2)连接OG,OD,AD,
∵BF∥OD,
∴∠OBG=∠AOD,=.
∵=60°,
∴===60°.
∴OD∥BF∥AC.
∴∠ABC=∠C=∠E=30°,∠ODE=∠E=30°.
在△ODH中,∠ODE=30°,∠AOD=60°,
∴∠OHD=90°,
∴AB⊥DE.
∴点D和点E关于直线AB对称.
解析分析:(1)作辅助线,连接OD,由DF为⊙O的切线,可得OD⊥DF,又BF⊥DF,AC∥BF,所以OD∥AC,∠ODB=∠C,由OB=OD得∠ABD=∠ODB,从而可证∠ABC=∠C;
(2)连接OG,OD,AD,由BF∥OD,=60°,可求证===60°由平行线的性质及三角形的内角和定理可求出∠OHD=90°,由垂径定理便可得出结论.
点评:本题考查的是切线的性质及圆周角定理,比较复杂,解答此题的关键是作出辅助线,利用数形结合解答.
如图 AB是⊙O的直径 DF切⊙O于点D BF⊥DF于F 过点A作AC∥BF交BD的延长线于点C.(1)求证:∠ABC=∠C;(2)设CA的延长线交⊙O于E BF交⊙