问题补充:
如图,BD是⊙O的直径,AB与⊙O相切于点B,过点D作CD∥AO交⊙O于点C,AC与BD的延长线相交于点E.
(1)试探究CE与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)猜想线段CD、AO、BD之间的关系.
(3)若CE=4,DE=2,求sin∠ECD.
答案:
解:(1)CE与⊙O相切.
理由:连接OC,
∵CD∥OA,
∴∠AOC=∠OCD,∠ODC=∠AOB.
又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠AOB=∠AOC.
∵OA=OA,∠AOB=∠AOC,OB=OC,
∴△AOC≌△AOB.
∴∠ACO=∠ABO.
∵AB与⊙O相切,
∴∠ACO=∠ABO=90°,
∴CE与⊙O相切;
(2)BD2=2AO?DC
证明:∵CD∥AO,
∴∠AOB=∠CDO.
∵AB是⊙O的切线,DB是直径,
∴∠DCB=∠ABO=90°,
∴△BDC∽△AOB,
∴=,
∵OB=BD
∴BD2=AO?DC
即BD2=2AO?DC;
(3)设⊙O的半径为x,由(1)知CE是⊙O的切线,
∴∠ECO=90°,
∴△CEO为直角三角形,
∴CE2+OC2=OE2,
即16+x2=(x+2)2
解得:x=3,
∵∠ECO=90°,
∴∠ECD+∠DCO=90°
∵DB是直径,
∴∠DCB=90°,
∴∠CBD+∠CDB=90°,
∵CO=CD,
∴∠DCO=∠CDB,
∴∠ECD=∠CBD,
∴sin∠ECD=sin∠CBD,
∵∠E=∠E,
∴△ECD∽△EBC,
∴=,
∴sin∠CBD===,
∴sin∠ECD=sin∠CBD=.
解析分析:(1)CE与⊙O相切,连接OC证明∠ACO=90°即可;
(2)BD2=2AO?DC.连接BC,由题可知求线段CD、AO、BD之间的关系式,可以通过△BDC∽△AOB的比例关系式得出;
(3)由已知条件可证明∠ECD=∠CBD,所以sin∠ECD=sin∠CBD,在直角三角形DCB中求出sin∠CBD的值即可.
点评:本题考查了切线的判定.平行线的判断,切线的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理及圆周角定理.利用圆周角定理解答问题时,经常通过作辅助线构建直角三角形,在直角三角形中利用勾股定理来解答.
如图 BD是⊙O的直径 AB与⊙O相切于点B 过点D作CD∥AO交⊙O于点C AC与BD的延长线相交于点E.(1)试探究CE与⊙O的位置关系 并说明理由.(2)猜想线