02-07-10_卫星扫描面积
本期高中物理竞赛试题,我们共同来探究卫星在围绕行星运行时,对行星表面的观测区域的大小的问题,考虑到一般行星都是球形的,因此一颗卫星在运行过程中是不可能覆盖全球的,但是能够覆盖哪些区域呢?覆盖的区域占到总面积的的多少呢?这就需要具体分析一下了,本题目在比较理想的条件下,分析卫星运行时对地面的扫描面积,并通过该题目,粗略的探讨一下要覆盖整个地球表面需要多少颗卫星呢,那像美军的间谍卫星一样,要想全天覆盖一个一个区域又需要多少颗卫星呢,我们试着给出答案。
好了,不说了,先看看题,后面具体分析。
高中物理竞赛典型题与解题步骤
卫星沿圆形轨道运行,探测某行星,对其进行拍照,卫星运行周期为T,行星密度为p,试问行星的表面尚未拍摄到的部分与行星表面积之比?
高中物理竞赛题解题方法
由题目不难理解,该卫星在万有引力的作用下,围绕行星做圆周轨道运动,其运动的方程由牛顿第二定律给出,即万有引力提供向心力,得出题目中的方程二,但是方程式中的加速度表示,就需要好好分析一下了,由题目中的图1的几何关系不难发现,要想计算面积的比,就必须要知道圆弧BEF的表面积,是通过表面积计算公式得到,然而表面积的计算公式,与球的半径和角度有关,而角度的关系直接受到卫星的高度的影响,高度越小,角度越小,面积就越小,因此此题目的关键因素是卫星的高度位置,即公式中的半径。
然后由题目中的已知条件分析不难发现,已知量是卫星的运行周期,因此在写牛顿第二定律的方程时,要考虑关于周期的方程,即得出方程二。观察牛顿第二定律的方程,除了需要求得的半径是未知量以外,行星的质量题目中仍旧未给出,所以需要进一步表示出行星的质量,即通过行星的体积,表示出质量,也就是题目中的方程一,然后将方程一代入到方程二中,经化简可得到方程三,并结合图中的几何关系,不难发现,方程三就是角度余弦值,即方程四。
最后通过公式计算行星被拍摄到的范围与总面积的比值,仍旧是刚才计算出来的角度的余弦值,因此题目中的比值就是方程四中给出的答案。
高中物理竞赛题重难点突破
本题目的一个难点就是在圆台面的表面积计算上,这个计算需要用到简单的微积分的知识,并且该计算过程与球的表面积计算方法很类似,或者说几乎完全相同,稍有不同的就在于积分的上下限不一样而已。
所以有必要先来讨论一下球的表面积积分运算方法,首先在球壳表面选取一个微元面积,仔细观察该微元,不难发现,其微元的一条边在大圆上,因此长度为大圆弧的一小段,用半径乘角度的微分,而另一边并不在大圆面上,而是在半径为大圆半径的正弦值的小圆半径上,因此得到小圆上的长度微分为大圆半径的正弦值乘角度的微分,此时通过观察发现,大圆角度微分是180度的,而小圆的角度微分在360度上积分,最终得到答案。
然后看圆台的计算方法,前面完全相同,唯一的不同就在大圆的积分范围上,从0度到图示角度的积分的两倍,代入后就能得到表面积表达式了。