02-07-10_卫星扫描面积
本期高中物理竞赛试题，我们共同来探究卫星在围绕行星运行时，对行星表面的观测区域的大小的问题，考虑到一般行星都是球形的，因此一颗卫星在运行过程中是不可能覆盖全球的，但是能够覆盖哪些区域呢？覆盖的区域占到总面积的的多少呢？这就需要具体分析一下了，本题目在比较理想的条件下，分析卫星运行时对地面的扫描面积，并通过该题目，粗略的探讨一下要覆盖整个地球表面需要多少颗卫星呢，那像美军的间谍卫星一样，要想全天覆盖一个一个区域又需要多少颗卫星呢，我们试着给出答案。
好了，不说了，先看看题，后面具体分析。
高中物理竞赛典型题与解题步骤
卫星沿圆形轨道运行，探测某行星，对其进行拍照，卫星运行周期为T，行星密度为p，试问行星的表面尚未拍摄到的部分与行星表面积之比？
高中物理竞赛题解题方法
由题目不难理解，该卫星在万有引力的作用下，围绕行星做圆周轨道运动，其运动的方程由牛顿第二定律给出，即万有引力提供向心力，得出题目中的方程二，但是方程式中的加速度表示，就需要好好分析一下了，由题目中的图1的几何关系不难发现，要想计算面积的比，就必须要知道圆弧BEF的表面积，是通过表面积计算公式得到，然而表面积的计算公式，与球的半径和角度有关，而角度的关系直接受到卫星的高度的影响，高度越小，角度越小，面积就越小，因此此题目的关键因素是卫星的高度位置，即公式中的半径。
然后由题目中的已知条件分析不难发现，已知量是卫星的运行周期，因此在写牛顿第二定律的方程时，要考虑关于周期的方程，即得出方程二。观察牛顿第二定律的方程，除了需要求得的半径是未知量以外，行星的质量题目中仍旧未给出，所以需要进一步表示出行星的质量，即通过行星的体积，表示出质量，也就是题目中的方程一，然后将方程一代入到方程二中，经化简可得到方程三，并结合图中的几何关系，不难发现，方程三就是角度余弦值，即方程四。
最后通过公式计算行星被拍摄到的范围与总面积的比值，仍旧是刚才计算出来的角度的余弦值，因此题目中的比值就是方程四中给出的答案。
高中物理竞赛题重难点突破
本题目的一个难点就是在圆台面的表面积计算上，这个计算需要用到简单的微积分的知识，并且该计算过程与球的表面积计算方法很类似，或者说几乎完全相同，稍有不同的就在于积分的上下限不一样而已。
所以有必要先来讨论一下球的表面积积分运算方法，首先在球壳表面选取一个微元面积，仔细观察该微元，不难发现，其微元的一条边在大圆上，因此长度为大圆弧的一小段，用半径乘角度的微分，而另一边并不在大圆面上，而是在半径为大圆半径的正弦值的小圆半径上，因此得到小圆上的长度微分为大圆半径的正弦值乘角度的微分，此时通过观察发现，大圆角度微分是180度的，而小圆的角度微分在360度上积分，最终得到答案。
然后看圆台的计算方法，前面完全相同，唯一的不同就在大圆的积分范围上，从0度到图示角度的积分的两倍，代入后就能得到表面积表达式了。
