问题补充:
解答题已知数列{an}的前n项和为sn,且a1=1,nan+1=(n+2)sn?(n∈N*).
(1)求证:数列{}为等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式及前n项和sn;
(3)若数列{bn}满足:b1=,=?(n∈N*),求数列{bn}的通项公式.
答案:
解:(1)证明:将an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=(n+2)Sn;
整理得?(n∈N?).
又由已知=1,
所以数列{}是首项为1,公比为2的等比数列.
(2)由(1)的结论可得=2n-1,∴Sn=n?2n-1
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n?2n-1-(n-1)?2n-2=(n+1)?2n-2
由已知,a1=1,又当n=1时,(n+1)?2n-2=1,
∴an=(n+1)?2n-1(n∈N*).
(3)由=(n∈N*).
得=2n-1,
由此式可得,
,
…
,
把以上各等式相加得,
=(n∈N*,n≥2).
所以bn=(n∈N*,n≥2).
当n=1时也符合,所以bn=.解析分析:(1)通过将an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=(n+2)Sn;即可推出数列{}是首项为1,公比为2的等比数列;(2)利用(1)的结论求出数列{an}的通项公式及前n项和sn;(3)若数列{bn}满足:b1=,=?(n∈N*),推出得=2n-1,利用累加法直接求解数列{bn}的通项公式.点评:本题是中档题,考查数列的判断,通项公式的求法,前n项和的求法累加法的应用,考查计算能力.