问题补充:
已知数列{an}的前n项和为Sn且满足3Sn-4an=2n-4,n∈N*.
(1)证明:当n≥2时,an=4an-1-2;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设cn=Tn为数列{cn}的前n项和,证明:Tn<.
答案:
解:(1)3Sn-4an=2n-4,①
得当n≥2时,3Sn-1-4an-1=2(n-1)-4?? ②
①-②得,3(Sn-Sn-1)-4an+4an-1=2?-an+4an-1=2?an=4an-1-2;
(2)∵当n≥2时,an=4an-1-2;?an-=4(an-1-);?{an-}是以a1-为首项4为公比的等比数列.
又3S1-4a1=2-4?a1=2?a1-=
∴an-=?4n-1?an=+?4n-1=.
(3)∵cn==<=+
当n=1时,T1==<
n≥2时,Tn=c1+c2+c3+…+cn<++2(+…+)
=++2×=-<
综上,对所有的正整数n,都有?? Tn<.
解析分析:(1)利用3Sn-4an=2n-4,可得3Sn-1-4an-1=2(n-1)-4,两式作差即可.(2)由(1)的结论,把an=4an-1-2转化为an-=4(an-1-);即{an-}为等比数列,可求数列{an}的通项公式;(3)由(2)的结论求出数列{cn}的通项公式,再对数列{cn}的通项公式放缩后分离常数,分组求和即可.
点评:本题考查了数列求和的分组求和法.数列求和的常用方法有:裂项求和,错位相减法求和,分组求和,倒序相加求和,公式法等.
已知数列{an}的前n项和为Sn且满足3Sn-4an=2n-4 n∈N*.(1)证明:当n≥2时 an=4an-1-2;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设cn=