问题补充:
单选题已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈R都有f(x+2)=-f(x),若当x∈[0,2]时,f(x)=lg(x+1),则有A.B.C.D.
答案:
C解析分析:由题意求得f(x)是周期等于4的周期函数,画出函数f(x)在一个周期[-2,2]上的图象,根据f(-)=f,f=f,利用函数的单调性求得解答:解:函数f(x)对于任意的x∈R都有f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),故f(x)是周期等于4的周期函数.∵f(x)是定义在R上的偶函数,x∈[0,2]时,f(x)=lg(x+1),故函数f(x)在一个周期[-2,2]上的图象如图所示:∴f(x)[-2,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数.再由f(-)=f,f=f(-)=f(-+4)=f,,∴f<f(1)<f,∴,故选C.点评:本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,体现了化归与转化以及数形结合的数学思想,属于中档题.