问题补充:
已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根,求的值.
答案:
解:设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t,
则at2+bt+c=0①,bt2+ct+a=0②,ct2+at+b=0③,
①+②+③得(a+b+c)t2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0,
∴(a+b+c)(t2+t+1)=0,
而t2+t+1=(t+)2+,
∵(t+)2≥0,
∴t2+t+1>0,
∴a+b+c=0,
∴a+b=-c,
原式=
=
=
=
=
=
=3.
解析分析:设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t,根据一元二次方程的解的意义得到at2+bt+c=0①,bt2+ct+a=0②,ct2+at+b=0③,然后把①+②+③得(a+b+c)t2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0,而t2+t+1=(t+)2+>0,所以只有a+b+c=0,即a+b=-c;再把所求的分式通分得到,接着把a3+b3用立方和公式分解,然后用-c代换a+b,原分式约分后把a2+b2配方,再用-c代换a+b,最后进行约分即可得到原分式的值.
点评:本题考查了一元二次方程的解:使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次的解.也考查了分式的化简求值.