问题补充:
如图,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,P是边DC上的任意一点,连接PA、PB,点E、F、G分别是AB、BP、PA的中点.
(1)求证:四边形EFPG是平行四边形;
(2)试猜想:当P位于什么位置时,四边形EFPG是菱形?并证明猜想的正确性;
(3)以下是小慧和小聪的一段对话:
你赞成谁的观点?如果赞成小慧,请说明理由;如果赞成小聪,请直接写出a与b之间的关系式.
答案:
(1)证明:∵点E、F、G分别是AB、BP、PA的中点,
∴EG∥PB,EF∥PA,∴四边形EFPG是平行四边形.
(2)解:当P位于DC中点时,四边形EFPG是菱形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠C=90°,DA=CB.
又∵P为DC中点,∴DP=CP.
∴△DAP≌△CBP,∴PA=PB.
∵F、G分别是PB、PA的中点,
∴PG=PF.
又∵四边形EFPG是平行四边形,
∴四边形EFPG是菱形.
(3)解:我赞成小聪的观点,理由如下:
由(2)知,当P位于DC中点时,四边形EFDG即为菱形.
即△DAP≌△CBP时,当a=2b时,∠APD=∠BPC=45°,此时菱形EFDG是正方形,
当a=2b时,菱形EFDG是正方形.
解析分析:(1)运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明;
(2)当P位于DC中点时,四边形EFPG是菱形.先由矩形的性质,得∠D=∠C=90°,DA=CB,再根据中点的定义证明△DAP≌△CBP,从而得PA=PB,再根据中点的定义证得PG=PF,根据一组邻边相等的平行四边形得证四边形EFPG是菱形.
(3)小聪的观点正确,由平行四边形EFDG为菱形,当∠APB=90°时,菱形EFDG是正方形,根据△DAP≌△CBP,只有∠APD=∠BPC=45°时,菱形EFDG是正方形,此时a=2b.
点评:解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维,多方思考,探究问题在不同条件下的不同结论,挖掘它的内在联系,向“纵、横、深、广”拓展,从而寻找出添加的条件和所得的结论.
如图 矩形ABCD中 AB=a AD=b P是边DC上的任意一点 连接PA PB 点E F G分别是AB BP PA的中点.(1)求证:四边形EFPG是平行四边形;(