对于任意实数x 符号[x]表示不超过x的最大整数 例如[-1.5]=-2 [2.5]=2 定义函数{x}

问题补充：

对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[-1.5]=-2，[2.5]=2，定义函数{x}=x-[x]，则给出下列四个命题：①函数{x}的定义域是R，值域为[0，1]；②方程{x}=有无数个解；③函数{x}是周期函数；④函数{x}是增函数．其中正确的序号是A.①③B.②④C.①④D.②③

答案：

D

解析分析：要使解析式有意义，得出函数{x}的定义域为R，由周期函数的定义证明此函数为周期函数，使求出一个周期的上的值域，即为整个函数的值域，周期函数不是单调函数．

解答：∵函数{x}的定义域为R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴③是正确的，当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），∴①错误，当x=时，{x}=，又∵函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴x=+k时（k∈Z），{x}=，∴②是正确的，∵函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，∴④错误故选D．

点评：此题是自定义一个函数，求函数的性质，一般研究函数从图象入手，要找出准确的切入点，x∈R时，[x]∈Z，x-[x]∈[0，1）．

对于任意实数x 符号[x]表示不超过x的最大整数 例如[-1.5]=-2 [2.5]=2 定义函数{x}=x-[x] 则给出下列四个命题：①函数{x}的定义域是R 值