问题补充:
单选题定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+1)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函数,下列四个关于f(x)的命题中:
①f(x)是周期函数;
②f(x)在[0,1]上是减函数;
③f(x)在[1,2]上是增函数;
④f(x)的图象关于x=1对称.
其中正确命题的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个
答案:
D解析分析:由于定义在R上的偶函数f(x),满足f(x+1)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函数,由此可以得出其周期是2,在[0,1]上是减函数,①f(x)是周期函数,由f(x+1)=-f(x)证明.②f(x)在[0,1]上是减函数;由偶函数的对称性求证;③f(x)在[1,2]上是增函数;由周期性求证;④f(x)的图象关于x=1对称.由f(x+1)=-f(x)及f(x)是偶函数来证.解答:由f(x+1)=-f(x),得f(x+1)=-f(x)=f(x-1),故函数的周期是2,①正确;f(x)在[-1,0]上是增函数,又函数是偶函数,故函数f(x)在[0,1]上是减函数;②正确;由?f(x)在[-1,0]上是增函数,又函数是周期为2的函数,故可得f(x)在[1,2]上是增函数;③正确;由f(x+1)=-f(x)=f(x-1),又函数是偶函数,故有f(1+x)=f(1-x),故函数的对称轴是x=1,④正确.故应选D.点评:本题利用函数的奇偶性与单调性进行判断证明,本解法灵活运用函数的性质与题设中的恒等式对几个命题进行证明,安排恰当合理,值得借鉴.